NC16610 [NOIP2009]Hankson的趣味题

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题目

题目描述

Hanks博士是BT（Bio-Tech，生物技术）领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现在，刚刚放学回家的Hankson正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1和c2的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整数x满足：

1、 x和a0的最大公约数是a1；

2、 x和b0的最小公倍数是b1。

Hankson的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的x并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入描述

第一行为一个正整数n，表示有n组输入数据。接下来的n行每行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0能被a1整除，b1能被b0整除。

输出描述

对于每组数据：若不存在这样的x，请输出0；

若存在这样的x，请输出满足条件的x的个数；

示例1

输入

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

输出

6
2

说明

第一组输入数据，x可以是9、18、36、72、144、288，共有6个。

第二组输入数据，x可以是48、1776，共有2个。

备注

对于50%的数据，保证有1≤a0，b1，b0，b1≤10000且n≤100。

对于100%的数据，保证有1≤a0，b1，b0，b1≤2,000,000,000且n≤2000。

题解

知识点：枚举，GCD与LCM。

由于 \(x\) 一定是 \(b_1\) 的因数，所以可以考虑枚举 \(b_1\) 的因数，然后检验即可。

有一种毒瘤做法，将四个数字分解质因数后比较指数，可以在 \(O(\sqrt{b_1})\) 完成，但计算量只差了几倍。

时间复杂度 \(O(\sqrt{b_1} \log b_1)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

bool solve() {
    int a0, a1, b0, b1;
    cin >> a0 >> a1 >> b0 >> b1;
    int ans = 0;
    for (int i = 1;i * i <= b1;i++) {
        if (b1 % i) continue;
        if (gcd(i, a0) == a1 && lcm(i, b0) == b1) ans++;
        if (b1 / i != i && gcd(b1 / i, a0) == a1 && lcm(b1 / i, b0) == b1) ans++;
    }
    cout << ans << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}