NC16610 [NOIP2009]Hankson的趣味题
题目
题目描述
Hanks博士是BT(Bio-Tech,生物技术)领域的知名专家,他的儿子名叫Hankson。现在,刚刚放学回家的Hankson正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上,老师讲解了如何求两个正整数c1和c2的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson认为自己已经熟练地掌握了这些知识,他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”,这个问题是这样的:已知正整数a0,a1,b0,b1,设某未知正整数x满足:
1、 x和a0的最大公约数是a1;
2、 x和b0的最小公倍数是b1。
Hankson的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后,他发现这样的x并不唯一,甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x的个数。请你帮助他编程求解这个问题。
输入描述
第一行为一个正整数n,表示有n组输入数据。接下来的n行每行一组输入数据,为四个正整数a0,a1,b0,b1,每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0能被a1整除,b1能被b0整除。
输出描述
对于每组数据:若不存在这样的x,请输出0;
若存在这样的x,请输出满足条件的x的个数;
示例1
输入
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
输出
6
2
说明
第一组输入数据,x可以是9、18、36、72、144、288,共有6个。
第二组输入数据,x可以是48、1776,共有2个。
备注
对于50%的数据,保证有1≤a0,b1,b0,b1≤10000且n≤100。
对于100%的数据,保证有1≤a0,b1,b0,b1≤2,000,000,000且n≤2000。
题解
知识点:枚举,GCD与LCM。
由于 \(x\) 一定是 \(b_1\) 的因数,所以可以考虑枚举 \(b_1\) 的因数,然后检验即可。
有一种毒瘤做法,将四个数字分解质因数后比较指数,可以在 \(O(\sqrt{b_1})\) 完成,但计算量只差了几倍。
时间复杂度 \(O(\sqrt{b_1} \log b_1)\)
空间复杂度 \(O(1)\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
bool solve() {
int a0, a1, b0, b1;
cin >> a0 >> a1 >> b0 >> b1;
int ans = 0;
for (int i = 1;i * i <= b1;i++) {
if (b1 % i) continue;
if (gcd(i, a0) == a1 && lcm(i, b0) == b1) ans++;
if (b1 / i != i && gcd(b1 / i, a0) == a1 && lcm(b1 / i, b0) == b1) ans++;
}
cout << ans << '\n';
return true;
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int t = 1;
cin >> t;
while (t--) {
if (!solve()) cout << -1 << '\n';
}
return 0;
}
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