[学习笔记]快速幂&&快速乘
本质:二进制拆分(你说倍增我也没脾气)。然后是一个配凑。
合起来就是边二进制拆分,边配凑。
快速乘(其实龟速):把乘数二进制拆分。利用乘法分配率。
用途:防止爆long long
代码:
ll qk(ll x,ll y,ll mod){
ll ret=;
while(y){
if(y&) (ret+=x)%=mod;
(x+=x)%=mod;
y>>=;
}
return ret;
}
如果为了卡常,可以写成这样:
ll qk(ll x,ll y,ll mod){
ll ret=;
x%=mod;y%=mod;
while(y){
if(y&) ret=ret+x>=mod?ret+x-mod:ret+x;
x=x+x>=mod?x+x-mod:x+x;
y>>=;
}
return ret;
}
第一行必须有x%=mod,y%=mod,否则开始x,y可能很大,减一次mod不能减到mod以下。
还是错过几次。。。
(有时候卡这个取模还是挺有效的。)
快速幂(真的快速):把指数二进制拆分。利用:a^(x+y)=a^x*a^y
用途:各种指数运算,一般还取模。
推广:矩阵快速幂。
代码略。
快速幂经常与快速乘结合。log^2n也是可以接受的。
例题:
直接推式子,然后分治求等比数列,爆long long,要快速乘。
复杂度:O(log^3n)
upda:2018.10.12
你以为快速幂就这么简单???
其实可以更有趣一些。
与其说快速幂本质是二进制拆分,不如说是进制拆分。
因为,我们可以10进制快速幂!!!
应用于高精快速幂。
因为/2是O(len)的,除法复杂度太高 。
而如果高精用10进制存储,可以10进制快速幂!!每次干掉低位,类比于二进制下的左移和右移。
复杂度也是logn的。奇技淫巧第24条。
快速幂快吗?很快。但是还是logn的。
如果要多次进行快速幂,那么每次logn的复杂度可能还是不能接受。
我们根据拆分的思想,如果指数在1e9范围内,那么A^k=A^([k/1e4]*1e4+k%1e4)=A^([k/1e4]*1e4)*A^(k%1e4)
可以尝试根号预处理。
upda:2019.1.19
延伸一下
分块预处理,可以称之为“光速幂”
然后块速递推
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