2D几何变换

2D点：非齐次坐标x(x,y) (x表示向量矢量)

　　　齐次坐标：x^~=(x^~,y^~,w^~)=w^~(x,y,1)=w^~x^~         增广矢量：x^—=(x,y,1)

w^~=0时，齐次点称作理想点或无穷远点。

2D平移：

　　  非齐次坐标：x'=x+t  即 x'=[I t]x     I是2*2的单位矩阵

齐次坐标： x^—’=[I t; 0 1]x^—       两个自由度t₁,t₂

2D平移保持方向一致。

2D旋转+平移：（2D刚体运动，2D欧式变换）

非齐次坐标：x'=Rx+t  即 x'=[R t]x     R是2*2的正交旋转矩阵，R=[cosθ -sinθ；sinθ cosθ] ，RR^T=I, |R|=1

齐次坐标： x^—’=[R t; 0 1]x^—       三个自由度t₁,t₂,θ

2D欧式变换保持欧式距离，长度不变。

2D放缩旋转平移：

非齐次坐标：x'=sRx+t  即 x'=[sR t]x     R是2*2的正交旋转矩阵，R=[cosθ -sinθ；sinθ cosθ] ，RR^T=I, |R|=1；

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　s是尺度因子(一个值)，sR=[a -b; b a]

齐次坐标： x^—’=[sR t; 0 1]x^—       四个自由度t₁,t₂,θ,s

2D相似变换保持直线间的夹角不变。

2D仿射变换：

齐次坐标： x^—’=Ax^—    A 是2*3矩阵，A=[a₀₀ a₀₁ a₀₂; a₁₀ a₁₁ a₁₂]

在仿射变换下，平行线仍然保持平行。

2D投影变换：（透视变换或同态映射）

齐次坐标： x^—’=H^— x^—   H^—是任意的3*3齐次矩阵，也是非奇异矩阵，只相差在一个尺度量的情况下定义的。仅仅尺度量不同的两个H^—是等同的。

　　　　　　　　　　　　　　 H^—=[h₁ h₂ h₃; h₄ h₅ h₆; h₇ h₈ h₉ ]

H的九个元素中有8个独立比率，因此一个投影变换有八个自由度。

自由度：当以样本的统计量来估计总体的参数时， 样本中独立或能自由变化的自变量的个数，称为该统计量的自由度。

投影变换保持直线性。

2D坐标变换的层次

变换	矩阵	自由度数	保持性质	图标
平移	[I|t]2*3	2	方向	□
刚氏	[R|t]2*3	3	长度	◇
相似	[sR|t]2*3	4	夹角	♦
仿射	[A]2*3	6	平行性	平行四边形
投影	[H-]3*3	8	直线性	梯形