博弈论nim游戏

nim游戏

给定n堆物品，第i堆物品有Ai个，两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品的人获胜。

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定理：nim游戏先手必胜，当且仅当A1 xor A2 xor ... xor An != 0

xor 不进位加法

从无到有的过程是最难的，nim游戏是困扰了多少代人的难题！

定理证明(参考算阶)

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n;cin >> n;
    int res = 0;
    while(n --)
    {
        int x; cin >> x;
        res ^= x;
    }
    if(res) puts("Yes");
    else    cout << "No" << endl;
    return 0;
}

Mex运算

Mex运算就是除去本身以外其他非负整数的集合中的最小值，如MEX{1}=0，MEX{0,1,2,4,5}=3

SG函数

在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1，y2，···，yk，定义SG(x)为x的后继结点y1，y2，···，yk的SG函数值构成的集合再执行Mex运算的结果，即：

SG(X) = mex({SG(y1), SG(y2),···, SG(yk)})

多个SG游戏的最终结果为每个SG函数值的异或和，异或和为0即为必败点，反之为必胜点

1. 集合-Nim游戏
   
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给定 n

堆石子以及一个由 k

个不同正整数构成的数字集合 S

。

现在有两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿取石子，每次拿取的石子数量必须包含于集合 S

，最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式

第一行包含整数 k

，表示数字集合 S

中数字的个数。

第二行包含 k

个整数，其中第 i

个整数表示数字集合 S

中的第 i

个数 si

。

第三行包含整数 n

。

第四行包含 n

个整数，其中第 i

个整数表示第 i

堆石子的数量 hi

。

输出格式

如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围

1≤n,k≤100

,

1≤si,hi≤10000

输入样例：

2

2 5

3

2 4 7

输出样例：

Yes

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <unordered_set>
using namespace std;
const int N = 110, M = 10010;
int n, k;
int s[N], f[M];

//用记忆化搜索实现求sg函数
int sg(int x)
{
    //定义一个哈希表存x能到达的所有状态
    unordered_set<int>S;
    //如果当前状态已经到达过了，我们就直接返回，保证每个状态只到达过一次，这样便能保证每个状态不会重复搜索
    if(f[x] != -1)    return f[x];
    //枚举当前状态能到达的所有状态也就是当前结点的所有后继节点
    for(int i = 0; i < n; ++ i)
    {
        int t = s[i];
        if(x - t >= 0)  S.insert(sg(x - t));
    }
    //对当前x的所有后继结点进行mex操作
    for(int i = 0; ; ++ i)
        if(!S.count(i)) return f[x] = i;
}

int main()
{
    cin >> n;
    memset(f, -1, sizeof f);
    for(int i = 0; i < n; ++ i) cin >> s[i];
    cin >> k;
    int res = 0;
    while(k --)
    {
        int x;cin >>x;
        res ^= sg(x);
    }
    if(res) cout << "Yes" << endl;
    else    cout << "No" << endl;
    return 0;
}