树的问题小结(最小生成树、次小生成树、最小树形图、LCA、最小支配集、最小点覆盖、最大独立集)

树的定义：连通无回路的无向图是一棵树。

有关树的问题：

1、最小生成树。

2、次小生成树。

3、有向图的最小树形图。

4、LCA（树上两点的最近公共祖先）。

5、树的最小支配集、最小点覆盖、最大独立集。

一、最小生成树

解决的问题是：求无向图中边权值之和最小的生成树。

算法有Kruskal和Prim。

Kruskal使用前向星和并查集实现，可以存储重边（平行边），时间复杂度是O(m log m  +  m)，m是边的数量。

Prim使用邻接矩阵建图，不可以存储重边（平行边），如果出现重边，存储的是权值最小的那一条，时间复杂度为O(n*n), n是顶点的数量。使用邻接表建图可能会提高效率。

一般情况下，题目都是比较裸的。难度为易。

模版:建好图以后，直接调用，输出。

prim

 const int maxn=,INF=0x3f3f3f3f;
 int dist[maxn],Map[maxn][maxn],pre[maxn];
 //向外延伸的最短边长，记录图信息，记录连接信息
 bool p[maxn];//1表示点已经在树的，0表示点在树外
 bool f[maxn][maxn];
 int Prim(int n)
 {
     int i,j,k,Min,ans=;
     for(i=;i<=n;i++)
     {
         p[i]=;
         dist[i]=Map[][i];
         pre[i]=;
     }
     dist[]=;
     p[]=;
     for(i=;i<n;i++)
     {
         Min=INF;
         k=;
         for(j=;j<=n;j++)
         {
             if(!p[j]&&dist[j]<Min)
             {
                 Min=dist[j];
                 k=j;
             }
         }
         if(k==) return -;//G不连通
         ans+=Min;
         p[k]=;
         for(j=;j<=n;j++)
         {
             if(!p[j]&&Map[k][j]!=INF&&dist[j]>Map[k][j])
             {
                 dist[j]=Map[k][j];
                 pre[j]=k;
             }
         }
     }
     return ans;
 }

Kruskal

 const int N=,M=;
 int f[N],r[N];
 struct node
 {
     int x, y, len;
 }e[M];
 int cmp(const node &a,const node &b)
 {
     return a.len<b.len;
 }
 void Make_Set(int n)
 {
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         f[i]=i;
         r[i]=;
     }
 }
 void Link(int a, int b)
 {
     if (r[a] > r[b]) {f[b] = a; r[a]+=r[b];}
     else {f[a] = b; r[b]+=r[a];}
 }
 int Find_Set(int a)
 {
     if (a == f[a]) return a;
     else return  f[a] = Find_Set(f[a]);
 }
 int Kruskal(int n,int m)
 {
     int i, j, k, s=,cn=;
     Make_Set(n);
     sort(e,e+m,cmp);
     for(i=;i<m;i++)
     {
         j=Find_Set(e[i].x);
         k=Find_Set(e[i].y);
         if(j!=k) {
             Link(j,k);
             s+=e[i].len;
             cn++;
         }
         if(cn==n-) break;
     }
     if(cn<n-) return -;
     return s;
 }

二、次小生成树

1、最朴素的办法就是暴力枚举。求一遍最小生成树以后，依次删除最小生成树上的边，求此时的最小生成树，值最小的就是我们所求的。总共要运行 n次最小生成树算法，时间复杂度为n倍最小生成树算法的复杂度。有些题目能AC。暴力枚举在没有好方法时，也是一种非常好的方法。

2、我们知道，添加任意一条不在最小生成树上的边以后一定会形成一个环。找到环上除了(u,v)以外的权值最大的边，把它删掉，那么此时生成树就可能是次小生成树。基于这种思想：首先求出原图最小生成树，权值之和为MST。在执行最小最小生成树算法的时候，记录任意两点(u,v)路径之间的最大权值，maxe[u][v]。注意，不是记录以u与v为起点和终点的边的最大值，是两点之间的路径，可能有多个点在它们之间。然后枚举每一条边，如果该边不是原本最小生成树上的边，就用MST - maxe[u][v] + Map[u][v]，统计结果最小的。

需要知道的是次小生成树的权值和可以与最小生成树的权值和相等。

模版：

prim(直接贴poj1679的代码了)

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 const int maxn=,INF=0x3f3f3f3f;
 int dist[maxn],Map[maxn][maxn],pre[maxn],maxe[maxn][maxn];
 //向外延伸的最短边长，记录图信息，记录连接信息,最长边
 bool vis[maxn];//1表示点已经在树的，0表示点在树外
 bool f[maxn][maxn];//存在边为1，用过为0
 int n,m;//顶点数目
 int Prim()
 {
     int i,j,k,Min,ans=;
     memset(vis,,sizeof(vis));
     memset(f,,sizeof(f));
     memset(maxe,,sizeof(maxe));
     for(i=;i<=n;i++)
     {
         dist[i]=Map[][i];
         pre[i]=;
     }
     dist[]=;
     vis[]=;
     pre[]=;
     for(i=;i<n;i++)
     {
         Min=INF;
         k=;
         for(j=;j<=n;j++)
         {
             if(!vis[j]&&dist[j]<Min)
             {
                 Min=dist[j];
                 k=j;
             }
         }
         if(Min==INF) return -;//G不连通
         vis[k]=;
         ans+=Min;
         f[pre[k]][k] = f[k][pre[k]]=;
         for(j=;j<=n;j++)
         {
             if(vis[j]) maxe[k][j]=maxe[j][k]=max(maxe[j][pre[k]],dist[k]);
             if(!vis[j]&&dist[j]>Map[k][j])
             {
                 dist[j]=Map[k][j];
                 pre[j]=k;
             }
         }
     }
     return ans;
 }
 void init()
 {
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=n;j++)
         {
             if(i==j)Map[i][j]=;
             else Map[i][j]=INF;
         }
 }
 int main()
 {
     //freopen("test.txt","r",stdin);
     int i,j,k,a,b,c,ca;
     scanf("%d",&ca);
     while(ca--)
     {
         scanf("%d%d",&n,&m);
         init();
         for(i=;i<m;i++)
         {
             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
             Map[a][b]=Map[b][a]=c;
         }
         int ans=Prim();
         if(ans==-) {printf("Not Unique!\n");continue;}
         int res=INF;
         for(i=;i<=n;i++)
         {
             for(j=i+;j<=n;j++)
             {
                 if(!f[i][j]&&Map[i][j]!=INF)
                 {
                     res=(res,ans+Map[i][j]-maxe[i][j]);
                 }
             }
         }
         if(res==ans) printf("Not Unique!\n");
         else printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }

kruskal

 //O(mlogm+n^2)
 const int N=,M=,INF=0x3f3f3f3f;
 int f[N],r[N];
 int Find(int x)
 {
     if(x==f[x]) return x;
     return f[x]=Find(f[x]);
 }
 void Link(int x,int y)
 {
     int a=Find(x), b=Find(y);
     if(a!=b)
     {
         f[b]=a;
         r[a]+=r[b];
     }
 }
 struct node
 {
     int u,v,w;
     bool select;
 }edge[M];
 bool cmp(const node &a, const node &b)
 {
     if(a.w!=b.w) return a.w<b.w;
     if(a.u!=b.u) return a.u<b.u;
     return a.v<b.v;
 }
 struct node1
 {
     int to,next;
 }e[N];
 int cnt,tot,head[N],en[N],maxe[N][N];
 //e的边数、头结点、尾结点、两点在mst中的最大边
 void Kruskal(int n,int m)
 {
     int k=, i,j,t;
     for(cnt=;cnt<n;cnt++)
     {
         e[cnt].to=cnt+;
         e[cnt].next=head[cnt+];
         en[cnt+]=cnt;
         head[cnt+]=cnt;
     }
     sort(edge,edge+m,cmp);
     for(i=;i<m;i++)
     {
         if(k==n-) break;
         if(edge[i].w<) continue;
         int a=Find(edge[i].u), b=Find(edge[i].v);
         if(a!=b)
         {
             for(j=head[a];j!=-;j=e[j].next){
                 for(t=head[b];t!=-;t=e[t].next){
                     int u=e[j].to, v=e[t].to;
                     maxe[u][v]=maxe[v][u]=edge[i].w;
                 }
             }
             e[en[b]].next=head[a];
             en[b]=en[a];
             Link(a,b);
             k++;
             edge[i].select=;
         }
     }
 }
 void addedge(int u,int v,int w)
 {
     edge[tot].u=u;edge[tot].v=v;edge[tot].w=w;tot++;
 }
 void init()
 {
     tot=;
     memset(head,-,sizeof(head));
     memset(en,-,sizeof(en));
     for(int i=;i<N;i++){
         edge[i].select=;
         f[i]=i;
         r[i]=;
     }
 }
 int main()
 {
     //freopen("test.txt","r",stdin);
     int mst,secmst;
     Kruskal(n,m);
     mst=;
     for(i=;i<m;i++){
         if(edge[i].select) mst+=edge[i].w;
     }
     secmst=INF;
     for(i=;i<m;i++){
         if(!edge[i].select)
             secmst=min(secmst,mst+edge[i].w-maxe[edge[i].u][edge[i].u]]);
     }

     return ;
 }

算法的不同，当然也继承了该算法的特点。Prim不能存重边。这是需要注意的。

题目：Hdu2489  poj1679

hdu4081http://www.cnblogs.com/Potato-lover/p/3938482.html

三、有向图的最小树形图

解决的问题：一水源给菜地供水，水只能从高处向低处流，修水渠需要一定的花费，问怎样才能使得花费最低。

边是有方向的，与最小生成树不同，这可以理解为有向图的最小生成树。

算法是朱刘算法，难得的以国人名字命名的算法。

邻接矩阵建图，时间复杂度为O( n*n*n )。 hdu4009用这种方法超时了。

前向星建图，时间复杂度为O( n*m )。

朱刘算法的两种实现可以看我的博客 http://www.cnblogs.com/Potato-lover/p/3942321.html

题目:hdu4009 、 hdu2121

四、LCA（树上两点的最近公共祖先）

解决的问题：求树上的任意两个点之间的最短距离。

用最短路的方法是行不通的，复杂度太高。所以才有解决LCA的专门的算法。

我只会离线的Tarjan(图拉)算法。 时间复杂度为O(m+q),m是边数，q是问题的个数。

我的博客里已经有相关的介绍了。http://www.cnblogs.com/Potato-lover/category/613545.html

题目：poj1330 （hdu2586）

五、树的最小支配集、最小点覆盖、最大独立集

注意：是树上的，图中一定不能有圈。

都是基于深度优先搜索。

最小支配集：对于图G=(V,E)，从V取尽量少的点组成一个集合，使得V中剩余的点都与取出来的点有边相连。

最小点覆盖：对于图G=(V,E)，从V取尽量少的点组成一个集合，使得E中所有的边都与取出来的点相连。

最大独立集：对于图G=(V,E)，从V取尽量多的点组成一个集合，使得这些点之间没有边相连。

时间复杂度都是O(n)。

这方面的题目似乎不曾出现，但是作为图论的学习者，有必须会。

实现的算法很相似。

顶点下标从1开始的。

 /*newpos[i]表示深度优先遍历序列的第i个点是哪个点，
 now表示当前深度优先遍历序列已经有多少个点了。select[]用于
 深度优先遍历的判重，p[i]表示点i的父节点的编号。对于greedy(),
 s[i]为1表示第i个点被覆盖。se[i]表示点i属于要求的点集*/

 const int N = ;
 struct node
 {
     int to, w, next;
 }e[N*N];
 int head[N],tot,now;
 int p[N], newpos[N] ;
 bool select[N];
 bool s[N],se[N];
 //深度优先遍历，得到深度优先遍历序列
 void dfs(int x)
 {
     newpos[now++] = x;
     int k;
     for(k=head[x]; k!=-; k=e[k].next)
     {
         if(!select[e[k].to])
         {
             select[e[k].to]= ;
             p[e[k].to]=x;
             dfs(e[k].to);
         }
     }
 }
 //最小支配集
 int greedy1()
 {
     memset(s,,sizeof(s));
     memset(se,,sizeof(se));
     int ans=;
     int i;
     for(i=now-; i>=; i--)
     {
         int t=newpos[i];
         if(!s[t])
         {
             if(!se[p[t]])
             {
                 se[p[t]]=;
                 ans++;
             }
             s[t] = ;
             s[p[t]] = ;
             s[p[p[t]]] = ;
         }
     }
     return ans;
 }
 //最小点覆盖
 int greedy2()
 {
     memset(s,,sizeof(s));
     memset(se,,sizeof(se));
     int ans=;
     int i;
     for(i=now-; i>=; i--)
     {
         int t=newpos[i];
         if(!s[t]&&!s[p[t]])
         {
             se[p[t]]=;
             ans++;
             s[t] = ;
             s[p[t]] = ;
         }
     }
     return ans;
 }
 //最大独立集
 int greedy3()
 {
     memset(s,,sizeof(s));
     memset(se,,sizeof(se));
     int ans=;
     int i;
     for(i=now-; i>=; i--)
     {
         int t=newpos[i];
         if(!s[t])
         {
             se[t]=;
             ans++;
             s[t] = ;
             s[p[t]] = ;
         }
     }
     return ans;
 }
 void addedge(int i,int j)
 {
     e[tot].to=j;e[tot].next=head[i];head[i]=tot++;
 }
 void init()
 {
     tot=now=;
     memset(head,-,sizeof(head));
     memset(select, , sizeof(select));
 }
 int main()
 {
     /* 读入图*/
     select[]=;
     p[]=;
     dfs();
     printf("%d\n",greedy());
     return ;
 }