bzoj2440（莫比乌斯函数）

bzoj2440

题意

求第 k 个不是完全平方数（除 1 以外）的正倍数的数。

分析

利用二分法求解，二分 x ，判断 x 是否是第 k 个数即可，那么我们就要计算 [1, x] 有几个符合条件的数。

首先本题用到容斥原理的思想，

sum = 1 的倍数的数的个数 - (4, 8, 9, ) 这些质因子个数为 1 的平方的倍数的数的个数 + (36, ) 这些质因子个数为 2 的平方的倍数的数的个数 ...

而根据莫比乌斯函数 \(\mu(n)\) 的定义：

设 \(n = p_1 ^ {k_1} \cdot p_2 ^ {k_2} \cdot\cdots\cdot p_m ^ {k_m}\) ，其中 p 为素数，则定义如下：

\(\mu(n) = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ (-1) ^ m & \prod\limits_{i = 1} ^ {m} k_i = 1 \\ 0 & \textrm{otherwise}(k_i \gt 1) \end{cases}\)

最终得到下面的式子：

\(sum = \sum_{i=1}^{\left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor}\mu(i)\left \lfloor \frac{x}{i^{2}}\right \rfloor\)

我们可以通过线性筛来求出莫比乌斯函数的值。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e6 + 10;
int not_prime[MAXN];
int prime[MAXN];
int mu[MAXN];
void getMu() {
    mu[1] = 1;
    int cnt = 0;
    for(int i = 2; i < MAXN; i++) {
        if(!not_prime[i]) {
            prime[cnt++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 0; i * prime[j] < MAXN; j++) {
            not_prime[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0) {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
}
ll cal(ll x) {
    ll s = 0;
    for(ll i = 1; i * i <= x; i++) {
        s += mu[i] * (ll)(x / (i * i));
    }
    return s;
}
int main() {
    getMu();
    int T;
    cin >> T;
    while(T--) {
        ll k;
        cin >> k;
        ll l = 1, r = 1e10, mid = (l + r) / 2;
        while(l < r) {
            if(cal(mid) >= k) r = mid;
            else l = mid + 1;
            mid = (l + r) / 2;
        }
        cout << mid << endl;
    }
    return 0;
}