2019 计蒜之道初赛第二场 A 百度AI小课堂-矩阵问题 ( 等差数列求和公式)

题目背景

91029102 年 99 月 11 日，百度在 X 市 XX 中学举办了一场 AI 知识小课堂，本场 AI 知识小课堂老师教授了一些矩阵的相关知识，因为矩阵在 AI 人工智能中也有相当的应用。

题目描述

一个同学 LSQ 在小课堂后对矩阵产生极大的感兴趣，他想到了一个对矩阵求和的问题，但是这个矩阵实在太大了，他算不过来，你能帮帮他吗？

这个矩阵长这个样子，其右方和下方是没有边界的，但是不要担心，他并不要求你对整个矩阵求和，他只想知道，第 aa 行第 cc 列的格子为左上，第 bb 行第 dd 列的格子为右下的子矩阵中所有元素的和是多少？

方便起见，请将答案乘 22，再对 332748118332748118 取模后输出

1	2	3	4	5	6	7	8	9	...
2	3	4	5	6	7	8	9	10	...
3	4	5	6	7	8	9	10	11	...
4	5	6	7	8	9	10	11	12	...
5	6	7	8	9	10	11	12	13	...
6	7	8	9	10	11	12	13	14	...
7	8	9	10	11	12	13	14	15	...
8	9	10	11	12	13	14	15	16	...
9	10	11	12	13	14	15	16	17	...
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

输入格式

一行四个正整数 a,b,c,da,b,c,d。

输出格式

一行一个整数表示答案。

数据范围

a<b\le 10^{18},c<d\le 10^{18}a<b≤1018,c<d≤1018。

输出时每行末尾的多余空格，不影响答案正确性

样例输入复制

1 3 4 6

样例输出复制

思路：

通过分析我们可以发现，给定的矩阵的每一列是一个公差为1的等差数列，那么我们不妨先求出第一列的sum值。

然后我们又可以发现，每一列的sum值也是等差数列，公差是 b-a+1 ,在求和就是答案了。

注意几点的是，由于题目取模数不是一个质数，

而等差数列求前列项和的公式是 s(n)= n*a1+(n*(n-1))*d/2 ,

d为公差，

公式中有除以2这个运算，熟悉数论的同学应该知道，取模运算中遇到除法要转化为乘以它的逆元，

而这题的取模数是合数，要用exgcd来求逆元。

但是题目简单化了，题面讲到得到的结果值乘以2，取模后才是答案，

那么我们把*2这个运算带入我们上述的计算过程中就可以恰好消除所有的/2运算。

还有一个坑点是数据范围全是 1e18 的数量级，要用快速取模乘法才不会爆long long

细节见代码：

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <cmath>

#include <queue>

#include <stack>

#include <map>

#include <set>

#include <vector>

#include <iomanip>

#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()

#define rt return

#define dll(x) scanf("%I64d",&x)

#define xll(x) printf("%I64d\n",x)

#define sz(a) int(a.size())

#define all(a) a.begin(), a.end()

#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)

#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)

#define pii pair<int,int>

#define pll pair<long long ,long long>

#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)

#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))

#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))

#define pb push_back

#define mp make_pair

#define fi first

#define se second

#define eps 1e-6

#define gg(x) getInt(&x)

#define db(x) cout<<"== [ "<<x<<" ] =="<<endl;

using namespace std;

typedef long long ll;

ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}

ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}

ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) {ll ans = ; while (b) {if (b % )ans = ans * a % MOD; a = a * a % MOD; b /= ;} return ans;}

inline void getInt(int* p);

const int maxn = ;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/

const ll mod = 332748118ll;

ll qmul(ll x, ll y) { // ?˷???ֹ????? ???p * p????ll?Ļ??????ӳˣ? O(1)?˷????????ɶ?????ӷ?

    return (x * y - (long long)(x / (long double)mod * y + 1e-) * mod + mod) % mod;

    /*

    ll ret = 0;

    while(y) {

        if(y & 1)

            ret = (ret + x) % mod;

        x = x * 2 % mod;

        y >>= 1;

    }

    return ret;

    */

}

ll exgcd(ll l, ll r, ll &x, ll &y)

{

    if (r == ) {x = ; y = ; return l;}

    else

    {

        ll d = exgcd(r, l % r, y, x);

        y -= l / r * x;

        return d;

    }

}

ll mod_inverse(ll a, ll m)

{

    ll x, y;

    if (exgcd(a, m, x, y) == ) //ax+my=1

        return (x % m + m) % m;

    return -;//?????

}

int main()

{

    // freopen("D:\\common_text\\code_stream\\in.txt","r",stdin);

    //freopen("D:\\common_text\\code_stream\\out.txt","w",stdout);

    // ll test=2e18;

    // cout<<test<<endl;

    ll a, b, c, d;

    cin >> a >> b >> c >> d;

    ll num = c + a - 1ll;

    num %= mod;

    ll n = b - a + 1ll;

    n %= mod;

    // ll temp=((2ll*num)%mod)*n%mod+(n*(n-1ll))%mod;

    ll temp = (qmul(qmul(2ll, num), n) + qmul(n, n - 1ll)) % mod;

    temp %= mod;

    // db(temp);

    n = d - c + 1ll;

    n %= mod;

    // cout<<n<<endl;

    ll gd = (b - a + 1ll);

    ll inv = mod_inverse(2ll, mod);

    ll ans = (qmul(temp, n) + qmul(qmul(n, n - 1ll), gd)) % mod;

    // cout<<temp*n%mod<<" "<<((n*(n-1ll))%mod*6ll*inv)%mod<<endl;

    ans = (ans + mod) % mod;

    cout << ans << endl;

    return ;

}

inline void getInt(int* p) {

    char ch;

    do {

        ch = getchar();

    } while (ch == ' ' || ch == '\n');

    if (ch == '-') {

        *p = -(getchar() - '');

        while ((ch = getchar()) >= '' && ch <= '') {

            *p = *p *  - ch + '';

        }

    }

    else {

        *p = ch - '';

        while ((ch = getchar()) >= '' && ch <= '') {

            *p = *p *  + ch - '';

        }

    }

}