HDU 4652 Dice (概率DP)
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Dice
0 m n: ask for the expected number of tosses until the last n times results are all same.
1 m n: ask for the expected number of tosses until the last n consecutive results are pairwise different.
will not exceeding 109 in this problem.
0 6 1
0 6 3
0 6 5
1 6 2
1 6 4
1 6 6
10
1 4534 25
1 1232 24
1 3213 15
1 4343 24
1 4343 9
1 65467 123
1 43434 100
1 34344 9
1 10001 15
1 1000000 2000
43.000000000
1555.000000000
2.200000000
7.600000000
83.200000000
25.586315824
26.015990037
15.176341160
24.541045769
9.027721917
127.908330426
103.975455253
9.003495515
15.056204472
4731.706620396
题目大意:
m边形的骰子,问你出现连续同样(不同)n次须要掷的次数的数学期望。
解题思路:
利用递归方式的DP的思想推公式
(1)若询问为0,则:
dp[i] 记录的是已经连续i个同样,到n个同样同须要的次数的数学期望
dp[0]= 1+dp[1]
dp[1]= 1+( 1/m*dp[2]+(m-1)/m*dp[1])=1+(dp[2]+(m-1)*dp[1])/m;
dp[2]= 1+(dp[3]+(m-1)*dp[2])/m;
....................
dp[n]= 0推出:
dp[i] = 1 + ( (m-1)*dp[1] + dp[i+1] ) / m
dp[i+1] = 1 + ( (m-1)*dp[1] + dp[i+2] ) / m因此。m*(dp[i+1]-dp[i])=(dp[i+2]-dp[i+1])
我们发现是等比数列
dp[0]-dp[1]=1;
dp[1]-dp[2]=m;
..........
dp[n-1]-dp[n]=m^(n-1)累加,得:dp[0]-dp[n]=1+m+m^2+..........m^(n-1)=(1-m^n)/(1-m)
所以:dp[0]=(1-m^n)/(1-m);
(2)若询问为1,则:
dp[0] = 1 + dp[1]
dp[1] = 1 + (dp[1] + (m-1) dp[2]) / m
dp[2] = 1 + (dp[1] + dp[2] + (m-2) dp[3]) / m
dp[i] = 1 + (dp[1] + dp[2] + ... dp[i] + (m-i)*dp[i+1]) / m
dp[i+1]= 1 + (dp[1] + dp[2] + ... dp[i] + dp[i+1] + (m-i-1)*dp[i+1]) / m
...
dp[n] = 0;选出 dp[i] 和 dp[i+1] 这两行相减 得
dp[i] - dp[i+1] = (m-i-1)/m * (dp[i+1] - dp[i+2]);
因此 dp[i+1] - dp[i+2] = m/(m-i-1)*(dp[i]-dp[i+1]);
所以:
dp[0]-dp[1]=1;
dp[1]-dp[2]=1*m/(m-1);
dp[2]-dp[3]=1*m/(m-1)*m/(m-2);
..........dp[n-1]-dp[n]=1*m/(m-1)*m/(m-2)*.......*m/(m-n+1);
累加得到答案
解题代码:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
inline double solve(){
int op,m,n;
scanf("%d%d%d",&op,&m,&n);
double ans=0;
if(op==0){
for(int i=0;i<=n-1;i++){
ans+=pow(1.0*m,i);
}
}else{
double tmp=1.0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans+=tmp;
tmp*=m*1.0/(m-i);
}
}
return ans;
}
int main(){
int t;
while(scanf("%d",&t)!=EOF){
while(t-- >0){
printf( "%.9lf\n",solve() );
}
}
return 0;
}
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