【BZOJ3944】Sum（杜教筛）

【BZOJ3944】Sum（杜教筛）

题面

求$$\sum_{i=1}^{n\mu(i)和\sum_{i=1}}n\phi(i)$$

范围：\(n<2^{31}\)

令$$S(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)$$

随便找个函数\(g\)和\(\mu\)做狄利克雷卷积

\[(g*\mu)(i)=\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d})
\]

对这个玩意求前缀和

\[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d})
\]

把\(d\)给提出来

\[\sum_{d=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d})
\]

\[\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{n/d}\mu(d)g(i)
\]

把\(g(d)\)提出去

\[\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)
\]

把前面设的东西带回去

\[\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})
\]

那么，我们发现，我们要求的是\(S(n)\)

\[g(1)S(n)=\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d})
\]

\[=\sum_{d=1}^n(g*\mu)(d)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d})
\]

我们知道：

\[\sum_{i|n}\mu(i)=[n=1]
\]

令\(g(x)=1\)

前面一堆东西是什么呀？

\[(1*\mu)(i)=\sum_{d|i}\mu(i)=[i=1]
\]

所以，

\[S(n)=1-\sum_{d=2}^nS(\frac{n}{d})
\]

后面的东西很显然可以数论分块

但是，我们不可能算完所有的东西

所以，线性筛预处理\(n^{\frac{2}{3}}\)项的前缀和

对于大于这个范围的值就做数论分块，然后递归处理

---

再看一下\(\phi\)怎么做

和前面一样，设出前缀和

\[S(n)=\sum_{i=1}^n\phi(i)
\]

找个函数\(g\)来做卷积

\[(g*\phi)(i)=\sum_{d|i}g(d)\phi(\frac{i}{d})
\]

求个前缀和

\[\sum_{i=1}^n(g*\phi)(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)\phi(\frac{i}{d})
\]

\(g\)提出来

\[\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{d|i}\phi(\frac{i}{d})
\]

\[=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/d}\phi(i)
\]

\[=\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})
\]

根刚才的式子没什么区别

\[S(n)=\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d})
\]

\[S(n)=\sum_{i=1}^n(g*\phi)(i)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d})
\]

我们又知道一个式子：

\[\sum_{d|i}\phi(d)=i
\]

也就是：$$(1*\phi)(i)=i$$

所以

\[S(n)=\sum_{i=1}^ni-\sum_{d=2}^nS(\frac{n}{d})
\]

\[S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{d=2}^nS(\frac{n}{d})
\]

和前面一样的，预处理\(n^\frac{2}{3}\)项

然后递归算就可以了

---

如果紧紧把范围卡在\(n^\frac{2}{3}\)这题会\(TLE\)???

一定是我常数太丑

反正可以多筛点

于是就多筛点

然后就\(AC\)啦???

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 2500000
#define ll long long
inline ll read()
{
	ll x=0,t=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return x*t;
}
bool zs[MAX+10];
int pri[MAX+10],tot;
ll mu[MAX+10],phi[MAX+10];
map<ll,ll> mm,pp;
void pre()
{
	zs[1]=true;mu[1]=phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=MAX;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=MAX;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i],phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
			else{mu[i*pri[j]]=0;phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
		}
	}
	for(int i=1;i<=MAX;++i)phi[i]+=phi[i-1];
	for(int i=1;i<=MAX;++i)mu[i]+=mu[i-1];
}
ll Mu(ll x)
{
	if(x<=MAX)return mu[x];
	if(mm[x])return mm[x];
	ll ret=0;
	ll i=2,j;
	while(i<=x)
	{
		j=x/(x/i);
		ret+=(j-i+1)*Mu(x/i);
		i=j+1;
	}
	return mm[x]=1-ret;
}
ll Phi(ll x)
{
	if(x<=MAX)return phi[x];
	if(pp[x])return pp[x];
	ll ret=0;
	ll i=2,j;
	while(i<=x)
	{
		j=x/(x/i);
		ret+=(j-i+1)*Phi(x/i);
		i=j+1;
	}
	return pp[x]=x*(x+1)/2-ret;
}
int main()
{
	pre();
	int T=read();
	while(T--)
	{
		ll n=read();
		printf("%lld %lld\n",Phi(n),Mu(n));
	}
	return 0;
}