2020牛客寒假算法基础集训营1 J. 缪斯的影响力 （矩阵快速幂/费马小定理降幂）

https://ac.nowcoder.com/acm/problem/200658

f(n) = f(n-1) * f(n-2) * a^b ,f的第一项是x，第二项是y。

试着推出第三项是x·y·a^b，第四项是x·y2·a^2b，第五项是x²·y³·a^4b，第六项是x³y⁵a^7b

可以发现x的指数成1 0 1 1 2 3，y的指数0 1 1 2 3 5，a的指数是0 0 b 2b 4b 7b。

x和y的指数为斐波那契数列，a的指数规律为，除去系数b，其第n项前两项之和+1。

由于数据范围很大，所以可以用矩阵快速幂求出x y a的指数的第n项是多少。

x和y的乘法矩阵比较好构造

1 1

1 0

对于b的乘法矩阵，因为f（n）= f（n-1）+ f（n-2）+ 1

所以可以构造为：

1 1 1

1 0 0

0 0 1

因为最终是要求x·y·a的某次幂，且mod = 1e9+7是一个素数，所以这里再矩阵快速幂求解的过程中用费马小定理进行降幂操作

因为a^p-1≡1%p，所以a^b%p = a^b%(p-1)%p，在矩阵快速幂计算过程中矩阵元素相乘对mod-1取模而不是mod

求出指数后，再用快速幂求解即可

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const ll mod = 1e9+;
 struct Matrix {
   ll a[][];
   Matrix() { memset(a, , sizeof a); }
   Matrix operator*(const Matrix &b) const {//重载矩阵乘法
     Matrix res;
     for (int i = ; i <= ; ++i)
       for (int j = ; j <= ; ++j)
         for (int k = ; k <= ; ++k)
           res.a[i][j] = (res.a[i][j] + (a[i][k] * b.a[k][j] )%(mod-) ) % (mod-);
     return res;
   }
 }base1,base2,B,X,Y;

 void init(){
     base1.a[][] = base1.a[][] = base1.a[][] = ;
     base2.a[][] = base2.a[][] = base2.a[][] = base2.a[][] = base2.a[][] = ;
     B.a[][] = X.a[][] = Y.a[][] = ;
 }
 Matrix qpow(Matrix a,ll n) {
   Matrix res;
   res.a[][] = res.a[][] = res.a[][] = ;
   while (n) {
     if (n & ) res = res * a;
     a = a * a;
     n >>= ;
   }
   return res;
 }
 ll power(ll a,ll n){
     ll res=;
     a = a % mod;
     while(n){
         if(n&)res=res*a%mod;
         n>>=;
         a=a*a% mod;
     }
     return res;
 }

 int main(){
     ll n,x,y,a,b;
     cin>>n>>x>>y>>a>>b;
     if(n == ) {
         cout<<x%mod;
         return ;
     }
     if(n == ){
         cout<<y%mod;
         return ;
     }
     if(x%mod==||y%mod==||a%mod==){cout<<;return ;}
     x%=mod,y%=mod;
     init();
     Matrix b1 = qpow(base1,n-);
     Matrix b2 = qpow(base2,n-);
     X = b1*X,Y = b1*Y,B = b2*B;
     ll Cx = X.a[][],Cy = Y.a[][],Cb = B.a[][];
     a = power(a%mod,b);
     ll ans = ((power(x,Cx)*power(y,Cy)%mod)*power(a,Cb)%mod);
     cout<<ans;
     return ;
 }