2019 牛客多校第一场 C Euclidean Distance ？

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/C

题目大意

　　给定 m 和 n 个整数 a_i，$-m \leq a_i \leq m$，求$\sum\limits_{i = 1}^{n} (\frac{a_i}{m} - p_i)^2$在约束条件$\sum\limits_{i = 1}^{n} p_i = 1, p_i \geq 0$下的最小值。

分析

　　首先，为了方便计算，可以把 p 坐标都扩大 m 倍，最后结果除个 m² 即可。

　　如此一来只需要算$\sum\limits_{i = 1}^{n} (a_i - p_i)^2$即可。

　　根据 AM-GM 不等式（算术—几何均值不等式）(这里先假设$p_i \geq a_i 或者 p_i \leq a_i$)：

$$\begin{align*}
\frac{\sum\limits_{i = 1}^{n} (a_i - p_i)^2}{n} \geq \sqrt[n]{\prod\limits_{i = 1}^{n} (a_i - p_i)^2} \\
当且仅当 p_1 - a_1 = p_2 - a_2 = \dots = p_n - a_n 时取等号。
\end{align*}$$

　　于是可以得到关于 p_i 的式子：$n(p_i - a_i) = m - \sum\limits_{i = 1}^{n} a_i$。

　　于是答案就显而易见了。

　　但问题是，由于约束条件，p_i 并不会都大于 0 且都大于 $a_i$ 或小于 $a_i$，为了解决这个问题，我们先把 a_i 从大到小排个序，然后利用上面的 AM-GM 不等式。

　　然后我们发现以某个数 k 为分界，$p_1 \dots p_k$ 都是大于等于 0 的，而 $p_{k + 1} \dots p_n$ 都是小于零的。

　　于是我们可以让 $p_{k + 1} \dots p_n$ 全部取 0，然后在 $[1, k]$ 上递归运用 AM-GM 不等式，直到找到一个区间，没有 $p_i$ 小于 0，而这个时候一定有$p_i \geq a_i 或者 p_i \leq a_i$（迷）。（具体可用二分法实现）

　　

　　那有没有可能 $p_{k + 1} \dots p_n$ 中选几个取一个大于 0 的值，答案能更小呢？这个我不晓得，也不会证，不过代码AC了，说明是没可能的。

　　我的理解是，与其给自己，不如均摊。

　　

　　然后这边有大佬的解释：https://blog.nowcoder.net/n/1539da6d6d6e47a6998b5c6f5bba2167?tdsourcetag=s_pcqq_aiomsg

　　思想其实和我一样，大佬解释为推平，推到推不下去为止。

　　

　　正解用了拉格朗日乘子法，但是写的太飘，解释的又太少，有些符号又看不懂什么意思，思维太跳，反正我是看不懂。

代码如下

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 #define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
 #define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
 #define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
 #define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
 #define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
 #define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
 #define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
 #define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)

 #define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
 #define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl

 #define LOWBIT(x) ((x)&(-x))

 #define ALL(x) x.begin(),x.end()
 #define INS(x) inserter(x,x.begin())
 #define UNIQUE(x) x.erase(unique(x.begin(), x.end()), x.end())
 #define REMOVE(x, c) x.erase(remove(x.begin(), x.end(), c), x.end()); // ?? x ?????? c
 #define TOLOWER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::tolower);
 #define TOUPPER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::toupper);

 #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
 #define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
 #define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))

 #define MP make_pair
 #define PB push_back
 #define ft first
 #define sd second

 template<typename T1, typename T2>
 istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
     in >> p.first >> p.second;
     return in;
 }

 template<typename T>
 istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
     for (auto &x: v)
         in >> x;
     return in;
 }

 template<typename T>
 ostream &operator<<(ostream &out, vector<T> &v) {
     Rep(i, v.size()) out << v[i] << " \n"[i == v.size()];
     return out;
 }

 template<typename T1, typename T2>
 ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
     out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "\n";
     return out;
 }

 inline int gc(){
     static const int BUF = 1e7;
     static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;

     if(bg == ed) fread(bg = buf, , BUF, stdin);
     return *bg++;
 } 

 inline int ri(){
     int x = , f = , c = gc();
     for(; c<||c>; f = c=='-'?-:f, c=gc());
     for(; c>&&c<; x = x* + c - , c=gc());
     return x*f;
 }

 template<class T>
 inline string toString(T x) {
     ostringstream sout;
     sout << x;
     return sout.str();
 }

 inline int toInt(string s) {
     int v;
     istringstream sin(s);
     sin >> v;
     return v;
 }

 //min <= aim <= max
 template<typename T>
 inline bool BETWEEN(const T aim, const T min, const T max) {
     return min <= aim && aim <= max;
 }

 typedef long long LL;
 typedef unsigned long long uLL;
 typedef pair< double, double > PDD;
 typedef pair< int, int > PII;
 typedef pair< int, PII > PIPII;
 typedef pair< string, int > PSI;
 typedef pair< int, PSI > PIPSI;
 typedef set< int > SI;
 typedef set< PII > SPII;
 typedef vector< int > VI;
 typedef vector< double > VD;
 typedef vector< VI > VVI;
 typedef vector< SI > VSI;
 typedef vector< PII > VPII;
 typedef map< int, int > MII;
 typedef map< int, string > MIS;
 typedef map< int, PII > MIPII;
 typedef map< PII, int > MPIII;
 typedef map< string, int > MSI;
 typedef map< string, string > MSS;
 typedef map< PII, string > MPIIS;
 typedef map< PII, PII > MPIIPII;
 typedef multimap< int, int > MMII;
 typedef multimap< string, int > MMSI;
 //typedef unordered_map< int, int > uMII;
 typedef pair< LL, LL > PLL;
 typedef vector< LL > VL;
 typedef vector< VL > VVL;
 typedef priority_queue< int > PQIMax;
 typedef priority_queue< int, VI, greater< int > > PQIMin;
 const double EPS = 1e-;
 const LL inf = 0x7fffffff;
 const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;
 const LL mod = 1e9 + ;
 const int maxN = 1e4 + ;
 const LL ONE = ;
 const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
 const LL oddBits = 0x5555555555555555;

 LL n, m, a[maxN], preSum[maxN], ans; 

 int main(){
     //freopen("MyOutput.txt","w",stdout);
     //freopen("input.txt","r",stdin);
     //INIT();
     while(~scanf("%lld %lld", &n, &m)) {
         For(i, , n) scanf("%lld", &a[i]);
         sort(a + , a + n + , greater< LL >());

         For(i, , n) preSum[i] = a[i] + preSum[i - ];

         int l = , r = n;
         while(l < r) {
             int mid = (l + r) >> ;

             if(m - preSum[mid + ] + (mid + ) * a[mid + ] >= ) l = mid + ;
             else r = mid;
         }
         ans = (m - preSum[l]) * (m - preSum[l]) * l;
         For(i, l + , n) ans += a[i] * a[i] * l * l;

         LL x = m * m * l * l;
         LL d = __gcd(ans, x);
         ans /= d;
         x /= d;
         if(x == ) printf("%lld\n", ans);
         else printf("%lld/%lld\n", ans, x);
     }
     return ;
 }
 /*
 7 16
 4 9 -4 -6 -3 5 13
 469/1024

 8 16
 4 9 -4 -6 -3 5 13 7
 79/128
 */