防止过拟合：L1/L2正则化

正则化方法：防止过拟合，提高泛化能力

在训练数据不够多时，或者overtraining时，常常会导致overfitting（过拟合）。其直观的表现如下图所示，随着训练过程的进行，模型复杂度增加，在training data上的error渐渐减小，但是在验证集上的error却反而渐渐增大——因为训练出来的网络过拟合了训练集，对训练集外的数据却不work。

为了防止overfitting，可以用的方法有很多，下文就将以此展开。有一个概念需要先说明，在机器学习算法中，我们常常将原始数据集分为三部分：training data、validation data，testing data。这个validation data是什么？它其实就是用来避免过拟合的，在训练过程中，我们通常用它来确定一些超参数（比如根据validation data上的accuracy来确定early stopping的epoch大小、根据validation data确定learning rate等等）。那为啥不直接在testing data上做这些呢？因为如果在testing data做这些，那么随着训练的进行，我们的网络实际上就是在一点一点地overfitting我们的testing data，导致最后得到的testing accuracy没有任何参考意义。因此，training data的作用是计算梯度更新权重，validation data如上所述，testing data则给出一个accuracy以判断网络的好坏。

避免过拟合的方法有很多：early stopping，数据集扩增（Data augmentation），正则化（Regularization）包括L1、L2（L2 regularization也叫weight decay），Dropout。

L2 regularization（权重衰减）

L2正则化就是在代价函数后面再加上一个正则化项：

C0代表原始的代价函数，后面那一项就是L2正则化项，它是这样来的：所有参数w的平方的和，除以训练集的样本大小n。λ就是正则项系数，权衡正则项与C0项的比重。另外还有一个系数1/2，1/2经常会看到，主要是为了后面求导的结果方便，后面那一项求导会产生一个2，与1/2相乘刚好凑整。

L2正则化项是怎么避免overfitting的呢？我们推导一下看看，先求导：

可以发现L2正则化项对b的更新没有影响，但是对于w的更新有影响:

在不使用L2正则化时，求导结果中w前系数为1，现在w前面系数为 1−ηλ/n ，因为η、λ、n都是正的，所以 1−ηλ/n小于1，它的效果是减小w，这也就是权重衰减（weight decay）的由来。当然考虑到后面的导数项，w最终的值可能增大也可能减小。

另外，需要提一下，对于基于mini-batch的随机梯度下降，w和b更新的公式跟上面给出的有点不同：

对比上面w的更新公式，可以发现后面那一项变了，变成所有导数加和，乘以η再除以m，m是一个mini-batch中样本的个数。

到目前为止，我们只是解释了L2正则化项有让w“变小”的效果，但是还没解释为什么w“变小”可以防止overfitting？一个所谓“显而易见”的解释就是：更小的权值w，从某种意义上说，表示网络的复杂度更低，对数据的拟合刚刚好（这个法则也叫做奥卡姆剃刀），而在实际应用中，也验证了这一点，L2正则化的效果往往好于未经正则化的效果。当然，对于很多人（包括我）来说，这个解释似乎不那么显而易见，所以这里添加一个稍微数学一点的解释（引自知乎）：

过拟合的时候，拟合函数的系数往往非常大，为什么？如下图所示，过拟合，就是拟合函数需要顾忌每一个点，最终形成的拟合函数波动很大。在某些很小的区间里，函数值的变化很剧烈。这就意味着函数在某些小区间里的导数值（绝对值）非常大，由于自变量值可大可小，所以只有系数足够大，才能保证导数值很大。

而正则化是通过约束参数的范数使其不要太大，所以可以在一定程度上减少过拟合情况。

L1 regularization

在原始的代价函数后面加上一个L1正则化项，即所有权重w的绝对值的和，乘以λ/n（这里不像L2正则化项那样，需要再乘以1/2，具体原因上面已经说过。）

同样先计算导数：

上式中sgn(w)表示w的符号。那么权重w的更新规则为：

比原始的更新规则多出了η * λ * sgn(w)/n这一项。当w为正时，更新后的w变小。当w为负时，更新后的w变大——因此它的效果就是让w往0靠，使网络中的权重尽可能为0，也就相当于减小了网络复杂度，防止过拟合。

另外，上面没有提到一个问题，当w为0时怎么办？当w等于0时，|W|是不可导的，所以我们只能按照原始的未经正则化的方法去更新w，这就相当于去掉η*λ*sgn(w)/n这一项，所以我们可以规定sgn(0)=0，这样就把w=0的情况也统一进来了。（在编程的时候，令sgn(0)=0,sgn(w>0)=1,sgn(w<0)=-1）