UVa 10900 - So you want to be a 2n-aire?（期望DP）

链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1841

题意：

在一个电视娱乐节目中，你一开始有1元钱。主持人会问你n个问题，每次你听到问题后有两个选择：
一是放弃回答该问题，退出游戏，拿走奖金；二是回答问题。
如果回答正确，奖金加倍；如果回答错误，游戏结束，你一分钱也拿不到。
如果正确地回答完所有n个问题，你将拿走所有的2^n元钱，成为2^n元富翁。
当然，回答问题是有风险的。每次听到问题后，你可以立刻估计出答对的概率。
由于主持人会随机问问题，你可以认为每个问题的答对概率在t和1之间均匀分布。
输入整数n和实数t（1≤n≤30，0≤t≤1），你的任务是求出在最优策略下，拿走的奖金金额的期望值。
这里的最优策略是指让奖金的期望值尽量大。

分析：

假设刚开始游戏，如果直接放弃，奖金为1；如果回答，期望奖金为（p * 答对1题后的最大期望奖金）。
用d[i]表示“答对i题后的最大期望奖金”，再加上“不回答”时的情况，可以得到：
若第1题答对概率为p，期望奖金的最大值 = max{2^0, p*d[1]}，
这里故意写成2^0，强调这是“答对0题后放弃”所得到的最终奖金。
上述分析可以推广到一般情况，但是要注意一点：到目前为止，一直假定p是已知的，
而p实际上并不固定，而是在t～1内均匀分布。可以得到：d[i] = max{2^i, p*d[i+1]}。
因为有max函数的存在，需要分两种情况讨论，即p*d[i+1]<2^i和p*d[i+1]≥2^i两种情况。
令p0=max{t, 2^i/d[i+1]}（加了一个max是因为根据题目，p≥t），则：
p<p0时，p*d[i+1]<2^i，因此“不回答”比较好，期望奖金等于2^i。
p≥p0时，“回答”比较好，期望奖金等于d[i+1]乘以p的平均值，即(1+p0)/2 * d[i+1]。
在第一种情况中，p的实际范围是[t,p0)，因此概率为p1=(p0-t)/(1-t)。
根据全期望公式，d[i] = 2^i * p1 + (1+p0)/2 * d[i+1] * (1-p1)。
边界是d[n] = 2^n，逆向递推出d[0]就是本题的答案。

代码：

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 const int UP =  + ;
 double d[UP];

 int main() {
     int n;
     double t;
     while(scanf("%d%lf", &n, &t) && n) {
         d[n] = <<n;
         for(int i = n-; i >= ; i--) {
             double p0 = max(t, (double)(<<i) / d[i+]);
             double p1 = (p0-t) / (-t);
             d[i] = p1 * (<<i) + (-p1) * (+p0)/ * d[i+];
         }
         printf("%.3f\n", d[]);
     }
     return ;
 }