floyd原理以及求最小环

floyd这个东西学会了好久了，但是原理总是忘记，或者说没有真正的明白，这里在说一下。

我们要求的是任意的 i，j 之间的最短路径，用动态规划的思想来解决就是f[i,j,k]表示i到j中间节点不超过k的最短路径，那么分两种情况讨论：

case1：经过k，如果经过k，很显然f[i,j,k]=f[i,k,k-1]+f[k,j,k-1]; 由动态规划的一些性质可以知道，这样是无后效性的；

case2：不经过k，那么很简单，f[i,j,k]=f[i,j,k-1]；

发现这两个方程中至于k-1有关，这样便可以省去一维空间，变成f[i,j]=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);

至于k，只需要迭代就可以了。

————————————————————————————————————————————————————————————————

floyd求最小环：

先来贴个代码：

 int mincircle = infinity;
 Dist = Graph;
 for(int k=;k<nVertex;++k){
     //新增部分:
     for(int i=;i<k;++i)
         for(int j=;j<i;++j)
             mincircle = min(mincircle,Dist[i][j]+Graph[j][k]+Graph[k][i]);
     //通常的 floyd 部分:
     for(int i=;i<nVertex;++i)
         for(int j=;j<i;++j){
             int temp = Dist[i][k] + Disk[k][j];
             if(temp < Dist[i][j])
                 Dist[i][j] = Dist[j][i] = temp;
         }
 }

大家可以先仔细看看这代码

发现了吗？只是在普通的floyd基础上又进行了了一个找环操作。相信大家仔细琢磨能琢磨出个大概意思，不顾我要在这里解释2个难理解的地方

1、为什么新增部分放在第K次最短路前面

【最小环的一个算法】令e(u,v)表示u和v之间的连边，再令min(u,v)表示，删除u和v之间的连边之后，u和v之间的最短路最小环则是min(u,v) + e(u,v)

Floyd中的k用来作为每节点进行最短路的更新min(u,v)路过K点，由于k是0~n，如果我们按照k值作为环节点的最大值，则可以取环【名叫第k层环】

dist存两点间的最短距离，g存放原图距离那么第k环的最小环

min= g[l~k]+g[k~r]+dist[l][r] 其中0<l<r<k

其中对dist[l][r]的要求是dist没有经过点值大于k的点的优化。

【反例】如果求第k层环的最小环时 dist有进过k点优化过，那么可能产生dist[l][r]=g[l][k]+g[k][r]

那么结果就变成：min=2*(g[l][k]+g[k][r]) 很明显这只是对一条路径的来回走动，而非环所以第k层环的最小

所以k层环应该要在求 dist有路由k点之前求出！

【结论】k层环的最小环 = g[l~k] + g[k~r] + dist[l][r] {0<l<r<k（dist为k-1层环时候更新的最短路）

2、为什么不能在原数组上直接操作而要两个数组？（一般的floyd都在一个数组上操作）

原因很简单，和第一个问题一样，如果在原数组上操作，就会有dist在前面被优化过，会产生1中的【反例】