MT【160】格点

(2017年清华大学  THUSSAT)

把不超过实数 $x$ 最大整数记为 $[x]$，任取互质且不小于 3 的正奇数 $m,n$，令
$$I=\sum_{i=1}^{\frac{m-1}{2}}\left[\frac{ni}{m}\right]+
\sum_{j=1}^{\frac{n-1}{2}}\left[\frac{mi}{n}\right],$$
则(      )
A.$I<\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
B.$I>\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
C.$I\leq\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
D.$I\geq\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$

答案:C.D

提示:$I=\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$，参见闵嗣鹤《初等数论》第三版第五章第四节二次互反律定理证明部分内容.