P1081 开车旅行[倍增]（毒瘤题）

其实就是个大模拟。

首先，根据题意，小A和小B从任意一个城市开始走，无论\(X\)如何，其路径是一定唯一的。

显然对于两问都可以想出一个\(O(n^2)\)的暴力，即直接一步一步地向右走。

首先，我们当然需要知道A，B在每个城市的下一步如何走，记\(nexta(i),nextb(i)\)为A，B在\(i\)处时，下一步走到的城市编号。

考虑如何高效（复杂度小于等于\(O(nlogn)\)）维护两个\(next\)。

显然不能直接维护每个城市与其后面的城市的差值，再好的数据结构也会到\(O(n^2)\)。

不妨考虑从后往前依次插入\(H_i\)，然后动态维护\(H_i\sim H_n\)的有序集合。这样的话，在有序集合中，最小的差值一定要么是\(H_i\)与其前驱，要么就是与其后继的差值。次小的差值，就是\(H_i\)前驱、前驱的前驱、后继、后继的后继与\(H_i\)的差值的次小值。这个问题，平衡树解决之，预处理\(O(nlogn)\)。

下面考虑走\(k\)步的情况，当前步是A走还是B走与步数的奇偶性有关，因此我们还要分开讨论。

那么，我们不妨考虑以此为基础进行优化，比如优化到\(O(nlogn)\)。显然地，对于这样的问题，我们可以倍增预处理，\(O(logn)\)询问。

接下来考察我们需要什么信息，分别是\(i\)向后走\(k\)步的城市，A和B从\(i\)向后走\(k\)步的路程。

设\(f[0/1][i][j]\)为从\(i\)位置，0A，1B向后走\(2^j\)步的城市。

显然

\[f[0][i][0]=nexta(i)\\f[1][i][0]=nextb(i)
\]

由于，走\(2^0\)步是走奇数步，有转移

\[f[0][i][1]=f[1][f[0][i][0]][0]\\f[1][i][1]=f[0][f[1][i][0]][0]
\]

对于走\(2^j\)步，有

\[f[0][i][j]=f[0][f[0][i][j-1]][j-1]\\f[1][i][j]=f[1][f[1][i][j-1]][j-1]
\]

设\(da[0/1][i][j]\)表示从\(i\)位置，A向后走\(2^j\)步的路程，且现在（当前步）是0A，1B在开车，还没走时的A开的距离

显然

\[da[0][i][0]=dist(i,nexta(i))\\da[1][i][0]=0
\]

有转移

\[da[0][i][1]=da[0][i][0]+da[1][f[0][i][0]][0]\\da[1][i][1]=da[1][i][0]+da[0][f[1][i][0]][0]\\da[0][i][j]=da[0][i][j-1]+da[0][f[0][i][j-1]][j-1]\\da[1][i][j]=da[1][i][j-1]+da[1][f[1][i][j-1]][j-1]
\]

设\(db[0/1][i][j]\)表示从\(i\)位置，B向后走\(2^j\)步的路程，且现在是0A，1B在开车。

跟\(da\)差别不大，不再赘述。

预处理完成之后，我们开始考虑题述问题。

对于第一问，对给出的\(X_0\)，我们枚举城市\(S_i\)，倍增统计走\(X_0\)步的答案（当然超出\(N\)要特判），\(O(nlogn)\)解决之。

对于第二问，同样的，对于每一组\(S_i,X_i\)，直接倍增统计即可，复杂度\(O(mlogn)\)。

总复杂度在\(O((n+m)logn)\)左右，完全可以通过本题。

注意，这道题的细节之数量足以让人去世。

代码未经重构，很丑。

参考代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#define INF 0x7fffffff
#define PI acos(-1.0)
#define N 100010
#define MOD 2520
#define E 1e-12
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read()
{
	ll f=1,x=0;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
set<int> h;
map<int,int> mp;
int t;
ll n,a[N],na[N],nb[N],f[2][N][21],da[2][N][21],db[2][N][21];
int main()
{
	n=read();t=log2(n);
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
	a[0]=INF,a[n+1]=-INF;
	h.insert(INF);
	h.insert(-INF);
	mp[-INF]=0,mp[INF]=n+1;
	for(int i=n;i>=1;--i){
		h.insert(a[i]);mp[a[i]]=i;
		ll n1=((++h.find(a[i])!=h.end())?(*++h.find(a[i])):INF),n2=(((++(++h.find(a[i])))!=h.end())?(*++(++h.find(a[i]))):INF);
		ll p1=((h.find(a[i])!=h.begin())?(*--h.find(a[i])):-INF),p2=((--h.find(a[i])!=h.end())?(*--(--h.find(a[i]))):-INF);
		if(n1-a[i]>=a[i]-p1){
			nb[i]=mp[p1];
			na[i]=(n1-a[i]>=a[i]-p2)?mp[p2]:mp[n1];
		}
		else{
			nb[i]=mp[n1];
			na[i]=(n2-a[i]>=a[i]-p1)?mp[p1]:mp[n2];
		}
		f[0][i][0]=na[i];f[1][i][0]=nb[i];
		da[0][i][0]=abs(a[i]-a[na[i]]);
		db[1][i][0]=abs(a[i]-a[nb[i]]);
	}
	for(int j=1;j<=t;++j){
		for(int i=1;i<=n;++i){
			if(j==1){
				f[0][i][1]=f[1][f[0][i][0]][0];
				f[1][i][1]=f[0][f[1][i][0]][0];
				da[0][i][1]=da[0][i][0]+da[1][f[0][i][0]][0];
				da[1][i][1]=da[1][i][0]+da[0][f[1][i][0]][0];
				db[0][i][1]=db[0][i][0]+db[1][f[0][i][0]][0];
				db[1][i][1]=db[1][i][0]+db[0][f[1][i][0]][0];
			}else{
				f[0][i][j]=f[0][f[0][i][j-1]][j-1];
				f[1][i][j]=f[1][f[1][i][j-1]][j-1];
				da[0][i][j]=da[0][i][j-1]+da[0][f[0][i][j-1]][j-1];
				da[1][i][j]=da[1][i][j-1]+da[1][f[1][i][j-1]][j-1];
				db[0][i][j]=db[0][i][j-1]+db[0][f[0][i][j-1]][j-1];
				db[1][i][j]=db[1][i][j-1]+db[1][f[1][i][j-1]][j-1];
			}
		}
	}/
	int x0=read(),s0=0;
	double ans=1e14,nans=1e14;//task 1
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int now=i;
		ll resa=0,resb=0;
		for(int j=t;j>=0;--j){
			if(f[0][now][j]){
				if(resa+resb+da[0][now][j]+db[0][now][j]>x0)
					continue;
				resa+=da[0][now][j];resb+=db[0][now][j];
				now=f[0][now][j];
			}
		}
		nans=(double)resa/(double)resb;
		if(nans<ans){
			ans=nans,s0=i;
		}
		else{
			if(nans==ans&&a[s0]<a[i]) s0=i;
		}
	}
	printf("%d\n",s0);
	int m=read();//task 2
	while(m--){
		ll si=read(),xi=read();
		ll resa=0,resb=0,now=si;
		for(int j=t;j>=0;--j){
			if(f[0][now][j]){
				if(resa+resb+da[0][now][j]+db[0][now][j]>xi)
					continue;
				resa+=da[0][now][j];resb+=db[0][now][j];
				now=f[0][now][j];
			}
		}
		printf("%lld %lld\n",resa,resb);
	}
	return 0;
}