BZOJ.4888.[TJOI2017]异或和(树状数组)

BZOJ

洛谷

\(Description\)

求所有区间和的异或和。

\(n\leq 10^5,\ \sum a_i\leq 10^6\)。

\(Solution\)

这样的题还是要先考虑按位做。

记\(s_i\)表示前缀和（\(s_0\)=0）。假设当前是第\(k\)位，我们要统计区间和在第\(k\)位为\(1\)的区间有多少个（或是奇偶性）。

枚举区间右端点\(i\)，然后我们要统计有多少个\(s_i-s_j\)在第\(k\)位为\(1\)。

当\(s_i\)第\(k\)位为\(1\)时：

　　如果\(s_j\)第\(k\)位为\(0\)，那\(s_j\)的后\(k\)位必须小于等于\(s_i\)的后\(k\)位才不会发生退位，\(s_i\)第\(k\)位上的\(1\)才能保留。

　　如果\(s_j\)第\(k\)位为\(1\)，那\(s_j\)的后\(k\)位必须大于\(s_i\)的后\(k\)位，才能退位使得\(s_i-s_j\)的第\(k\)位为\(1\)。

当\(s_i\)第\(k\)位为\(0\)时，同理讨论一下就可以了。（其实要注意\(s_i\)是不减的，这样前\(k\)位的影响很容易被处理掉）

所有数的和是\(\leq10^6\)的。所以对于每一位，我们用两个权值树状数组维护第\(k\)位为\(0/1\)的\(s_i\)的后\(k\)位就可以了。

复杂度\(O(n\log^2A)\)。

似乎还可以只用一个树状数组做？不管了懒得思考.jpg。大体看了下，差不多也是这样讨论，但是可以直接求区间和代替，不需要讨论\(s_j\)这一位是0还是1...

还可以用FFT做（虽然常数有点大过不去），但是我怎么看不懂啊=-=。

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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 500000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;

int sum[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct BIT
{
	#define N 1000005
	int n;
	bool t[N];
	#undef N
	#define lb(x) (x&-x)
	inline void Clear()
	{
		memset(t,0,n+1<<1);
	}
	inline void Add(int p)
	{
		for(; p<=n; p+=lb(p)) t[p]^=1;
	}
	inline bool Query(int p)
	{
		bool res=0;
		for(; p; p^=lb(p)) res^=t[p];
		return res;
	}
}T0,T1;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}

int main()
{
	const int n=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) sum[i]=sum[i-1]+read();
	int ans=0;
	for(int k=0; 1<<k<=sum[n]; ++k)
	{
		T0.Clear(), T1.Clear();
		T0.n=T1.n=1<<k, T0.Add(1);
		int s=0;
		for(int i=1,t0=1,t1=0,lim=(1<<k)-1; i<=n; ++i)
		{
			int val=sum[i]&lim;
			if(sum[i]>>k&1)
				s^=t1^T1.Query(val+1)^T0.Query(val+1), T1.Add(val+1), t1^=1;//(t1-T1.Query(val+1)+T0.Query(val+1))&1, ++t1;
			else
				s^=t0^T0.Query(val+1)^T1.Query(val+1), T0.Add(val+1), t0^=1;//(t0-T0.Query(val+1)-T1.Query(val+1))&1, ++t0;
		}
		ans+=s<<k;
	}
	printf("%d\n",ans);

	return 0;
}