浅谈KMP算法及其next[]数组

KMP算法是众多优秀的模式串匹配算法中较早诞生的一个，也是相对最为人所知的一个。

算法实现简单，运行效率高，时间复杂度为O（n+m）（n和m分别为目标串和模式串的长度）

当字符串长度和字符集大小的比值很大时，KMP算法相对蛮力有着很大的优势

理解KMP算法，关键是理解其中的精髓——next[]数组。

（统一起见，下文将目标字符串记作obj，将模式字符串记作pattern，这与后面的程序代码是一致的）

我们给一个字符串S定义一个next值，记作next(S)，next(S)=n表示：

（1）S的前n个字符构成的前缀，和后n个字符的后缀是相等的

（2）n是满足（1）条件的极大值。

如果不存在一个满足（1）条件的n，那么记next(S)=0。

例如，字符串“GACC”的next值为0，“GACCGG”的next值为1（极大前（后）缀为“G"），

“GACCGGACC”的next值为4（极大前（后）缀为”GACC“），“GAGAG”的next值为5。（极大前（后）缀就是它本身）。

而next[]数组，记录的则是pattern的所有前缀的next值。

next数组的作用，就是在模式匹配的过程中，尽可能减少模式串的偏移量。

下令obj=”GACGAACGACCGACGACGCCGACGAC“（O__O"…），pattern=”GACGCCG“。

模式匹配的流程如下：

设立两个”游标“i和j，分别指向obj串和pattern串当前正在检查的字符，初始时令i=j=0。

首先检查第一个字符，若obj[i]==pattern[j]，那么i++，j++。直到遇到obj[i]！=pattern[j]的情形。

GACGAACGACCGACGACGCCGACGAC

GACGCCG

前4个字符检查通过，但第5个字符（i=j=4）出了问题。

朴素的做法是让i和j都回退，对于此例，回退至i=1，j=0，然而这样无疑会做许多重复的计算。

而KMP算法的做法则是：只移动pattern。而移动的方法，则关系到算法的效率甚至正确性。

我们的原则是：保证正确的前提下，使得重复判断的次数尽可能少。

最佳的做法是将j移动到next[j-1]的位置。

（1）由next的性质（满足“前缀等于后缀”条件的极大值）可知，这样可以省去尽可能多的判断

（2）并且可以保证这样做是正确的

此时j=4，而next[j-1]=next[3]=1，所以令j=1，再次进行比较。

GACGAACGACCGACGACGCCGACGAC

------GACGCCG

比对通过。令i=5，j=2。

GACGAACGACCGACGACGCCGACGAC

------GACGCCG

next[1]=0，所以令j=0。

GACGAACGACCGACGACGCCGACGAC

----------GACGCCG

即使回退到第一位也没有出现字符相等的情形。而我们已经无法回退了。

此时只能令i++，表示前面的部分检查无果，继续向后检查。

（你也可以理解成，让obj相对于pattern运动）

GACGAACGACCGACGACGCCGACGAC

--------------GACGCCG

重复上述的过程到了这里（i=10，j=3），next[2]=0

GACGAACGACCGACGACGCCGACGAC

--------------------GACGCCG

pattern无法回退了，所以向前检查。

GACGAACGACCGACGACGCCGACGAC

----------------------GACGCCG

i=15，j=4，next[3]=1

GACGAACGACCGACGACGCCGACGAC

----------------------------GACGCCG

回退之后比对成功，i++，j++，重复这一过程，直到……

GACGAACGACCGACGACGCCGACGAC

----------------------------GACGCCG

至此我们便利用next数组完成了模式串匹配的过程。

可以看到，next数组使得匹配过程中少了很多不必要的计算，整个匹配过程显得高效利落。

那么问题来了，怎样高效地求next数组？暴力是肯定行不通的。

事实上，next数组的求法和上述KMP算法的步骤惊人地相似，甚至可以说，求next数组的过程就是一个自我匹配的过程。

也就是：求next[j]，就是让pattern[0..j]和pattern[0..x]进行上述的匹配过程。这里x=next[j-1]。next[j]=能够匹配成功的子串的最大长度。

下令pattern=”GACCGGACCGA“

首先令next[0]=0，易知next[1]=0。

之后，由于pattern[2]！=pattern[0]，所以next[2]=0。同理next[3]=0。

由于pattern[4]==pattern[0]，所以next[4]=0+1=1。

这里的0是next[3]的值。表示字符pattern[4]可以接到next[3]对应的后缀之后。

由于pattern[5]！=pattern[1]，pattern[5]==pattern[next[0]]==pattern[0]，所以next[5]=1。

详情如下：

GACCGG

--------GA　　　　【 用pattern[0..1]匹配pattern[0..5]，这里的1是next[4] 】

匹配不通过，所以令”模式串“的游标移至next[1]=0处（加了引号是因为这里的”模式串“是对pattern本身进行匹配）

GACCGG

----------GA

类似地，可得：next[6]=next[5]+1=2，next[7]=next[6]+1=3，next[8]=next[7]+1=4，next[9]=next[8]+1=5。

next[10]的求法如下：

GACCGGACCGA

----------GACCGG　　　　【 next[4]=1 】

GACCGGACCGA

------------------GACCGG

故next[10]=2。

代码如下：

 #include <cstdio>
 #include <cstring>

 ;

 char obj[maxL];
 char pattern[maxL];

 void input()
 {
     scanf("%s%s",obj,pattern);
 }

 };

 int getNext()
 {
     next[]=;
     int len=strlen(pattern);
     ;i<len;i++)
     {
         ];
          && pattern[i] != pattern[k]) k=k?next[k-]:-;
         next[i]=k+;
     }
     return len;
 }

 int kmp() //searching for the first place that pattern appears in obj
 {
     int lenObj=strlen(obj);
     int lenPattern=getNext();
     ,j=;i<lenObj;i++)
     {
          && obj[i] != pattern[j]) j=j?next[j-]:-;
         ;
     }
     ; //not found
 }

 int main()
 {
     input();
     printf("%d\n",kmp());
     ;
 }

（我们用-1作为循环终止的条件）

附一道简单的练习题，求pattern在obj中出现的次数。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>

 ;

 char obj[maxL];
 char pattern[maxL];

 void input()
 {
     scanf("%s%s",pattern,obj);
 }

 };

 int getNext()
 {
     next[]=;
     int len=strlen(pattern);
     ;i<len;i++)
     {
         ];
          && pattern[i] != pattern[k]) k=k?next[k-]:-;
         next[i]=k+;
     }
     return len;
 }

 int kmp()
 {
     ;
     int lenObj=strlen(obj);
     int lenPattern=getNext();
     ,j=;i<lenObj;i++)
     {
          && obj[i] != pattern[j]) j=j?next[j-]:-;
         ]; }
     }
     return ans;
 }

 int main()
 {
     int T; scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         input();
         printf("%d\n",kmp());
     }
     ;
 }

Problem：POJ P3461

算法这东西，难者不会，会者不难。如果理解时遇到了瓶颈，不妨用笔实验一下，总结规律，也许就能悟出算法的思想。

ps.推荐另一篇博文：http://blog.csdn.net/OIljt12138/article/details/51107585，可以作为阅读本文的对照参考