P4001-[ICPC-Beijing 2006]狼抓兔子【对偶图】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4001

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题目大意

给出一个类似于



的网格图，求起点到终点的最小割。

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解题思路

最小割直接跑网络流，然后发现\(dinic\)都过不了。（好像加点玄学优化就能过）

然后上点科技，平面图最小割转其补图（对偶图）的最短路

• 平面图：满足所有边不相交的情况下可以被画在平面上的一张图\(G(V,E)\)
• 对偶图：将一张平面图的各个区域变成一个点，然后平面图上分割两个区域\(a,b\)的边在对偶图上就是连接\(a,b\)的一条边。

这题显然是平面图，转换成对偶图就是



画的比较丑，将就着看把。

然后感性理解一下发现结论确实成立。

跑\(dij\)就好了

时间复杂度\(O(nm\log\ (nm))\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
const int N=1010*1010*2;
struct node{
    int to,next,w;
}a[N<<4];
int n,m,s,t,tot,ls[N],f[N];
bool v[N];
priority_queue<pair<int ,int > >q;
int p(int x,int y,int z)
{return ((x-1)*m+y)*2-z;}
void addl(int x,int y,int w){
    a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;
    a[++tot].to=x;a[tot].next=ls[y];ls[y]=tot;a[tot].w=w;
    return;
}
int dij(){
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[s]=0;q.push(mp(0,s));
    while(!q.empty()){
        int x=q.top().second;q.pop();
        if(v[x])continue;v[x]=1;
        for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
            int y=a[i].to;
            if(f[x]+a[i].w<f[y]){
                f[y]=f[x]+a[i].w;
                q.push(mp(-f[y],y));
            }
        }
    }
    return f[t];
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    s=p(n-1,m-1,0)+1;t=s+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<m;j++){
            int x;scanf("%d",&x);
            if(i==1)addl(s,p(i,j,0),x);
            else if(i==n)addl(p(i-1,j,1),t,x);
            else addl(p(i-1,j,1),p(i,j,0),x);
        }
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            int x;scanf("%d",&x);
            if(j==1)addl(p(i,j,1),t,x);
            else if(j==m)addl(s,p(i,j-1,0),x);
            else addl(p(i,j,1),p(i,j-1,0),x);
        }
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=1;j<m;j++){
            int x;scanf("%d",&x);
            addl(p(i,j,0),p(i,j,1),x);
        }
    printf("%d\n",dij());
    return 0;
}