可图性判定--Havel-Hakimi定理

两个概念

1、度序列

　　若把图G所有顶点的度数排成一个序列S，则称S为图G的度序列。

2、序列是可图的

　　一个非负整数组成的序列如果是某个无向图的度序列，则称该序列是可图的。

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Havel-Hakimi定理

由非负整数组成的非增序列S：d1, d2 ,..., dn (n≥2,d1≥1)是可图的，当且仅当序列S1：d2-1,d3-1,...,dd1+1-1,dd1+2,...,dn是可图的。其中，序列S1中有n-1个非负整数，S序列中d1后的前d1个度数(即d2~dd1+1)减1后构成S1中的前d1个数。

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应用：POJ 1659 Frogs' Neighborhood

http://poj.org/problem?id=1659

贴上一个博客

http://blog.csdn.net/monkey_little/article/details/6358601

对于该题目中的第一个序列，分析如下：

具体操作时候，每次都把排序好的序列第一个元素处理完以后就置为0，加入到队列的最后。若是最后元素全为0，则该序列是可图的。若在中间出现某个元素减一之后变为负的，则说明此序列是不可图的。

我的AC代码如下：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #define MAXN 10
 typedef struct Company
 {
   int data;
   int no;
 }Company;
 Company x[MAXN];
 int map[MAXN][MAXN];
 int Compare(const void *elem1, const void *elem2)
 {
   Company *p1 = (Company*)elem1;
   Company *p2 = (Company*)elem2;
 //  if (p1->data == p2->data)
 //  {
 //    return p1->no - p2->no;
 //  }
   return p2->data - p1->data;
 }
 int main()
 {
   int T, N;
   scanf("%d", &T);
   while(T--)
   {
     scanf("%d", &N);
     memset(map, , sizeof(map));
     int flag = ;
     for (int i = ; i < N; ++i)
     {
       scanf("%d", &x[i].data);
       x[i].no = i;
     }
     qsort(x, N, sizeof(Company), Compare);
     while(!flag && x[].data)
     {
       int start = x[].data;
       for (int i = ; i < start+; ++i)
       {
         x[i].data--;
         if (x[i].data < )
         {
           flag = ;
           break;
         }
         map[x[].no][x[i].no] = ;
         map[x[i].no][x[].no] = ;
       }
       x[].data = ;
       qsort(x, N, sizeof(Company), Compare);
     }
     if (flag)
     {
       printf("NO\n");
     }else
     {
       printf("YES\n");
       for (int i = ; i < N; ++i)
       {
         for (int j = ; j < N; ++j)
         {
           printf(j ==  ? "%d" : " %d", map[i][j]);
         }
         printf("\n");
       }
     }
     if (T)
     {
       printf("\n");
     }
   }
   return ;
 }

x.no这个属性用来记录每个输入数据的输入时的编号次序，以用来在map[][]数组填充1时用，否则不知道该x[?][?] = 1；

flag是一个标志位，若中间有负数出现，就改变其值

思路源自以下代码：

 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 struct node
 {
     int num,e;
 }x[];
 bool map[][];
 int cmp(node a,node b)
 {
     if(a.num==b.num)
         return a.e<b.e;
     return a.num>b.num;
 }
 int judge(int n)
 {
     int i,num,tmp;
     while(){
         sort(x+,x+n+,cmp);
         if(!x[].num)
             return ;//数组全为 0 的情况退出
         for(i=;i<=x[].num+;i++){
             if(x[i].num>){
                 x[i].num--;
                 map[x[].e][x[i].e]=map[x[i].e][x[].e]=;
             }
             else
                 return ;
         }
         x[].num=;
     }
 }
 int main()
 {
     int n,t,i,j;
     bool flag;
     scanf("%d",&t);
     while(t--){
         scanf("%d",&n);
         for(i=;i<=n;i++){
             scanf("%d",&x[i].num);
             x[i].e=i;
         }
         memset(map,,sizeof(map));
         flag=judge(n);

         if(flag){
             printf("YES/n");
             for(i=;i<=n;i++){
                 for(j=;j<=n;j++)
                     printf(j==?"%d":" %d",map[i][j]);
                 printf("/n");
             }
         }
         else
             printf("NO/n");
         if(t)
             printf("/n");
     }
     return ;
 }