POJ 1659 Frogs' Neighborhood(可图性判定—Havel-Hakimi定理)【超详解】

Frogs' Neighborhood

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Description

未名湖附近共有N个大小湖泊L₁, L₂, ..., L_n(其中包括未名湖)，每个湖泊L_i里住着一只青蛙F_i(1 ≤ i ≤ N)。如果湖泊L_i和L_j之间有水路相连，则青蛙F_i和F_j互称为邻居。现在已知每只青蛙的邻居数目x₁, x₂, ..., x_n，请你给出每两个湖泊之间的相连关系。

Input

第一行是测试数据的组数T(0 ≤ T ≤ 20)。每组数据包括两行，第一行是整数N(2 < N < 10)，第二行是N个整数，x₁, x₂,..., x_n(0 ≤ x_i ≤ N)。

Output

对输入的每组测试数据，如果不存在可能的相连关系，输出"NO"。否则输出"YES"，并用N×N的矩阵表示湖泊间的相邻关系，即如果湖泊i与湖泊j之间有水路相连，则第i行的第j个数字为1，否则为0。每两个数字之间输出一个空格。如果存在多种可能，只需给出一种符合条件的情形。相邻两组测试数据之间输出一个空行。

Sample Input

3
7
4 3 1 5 4 2 1
6
4 3 1 4 2 0
6
2 3 1 1 2 1

Sample Output

YES
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0
1 1 1 0 1 1 0
1 1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 

NO

YES
0 1 0 0 1 0
1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0

Source

POJ Monthly--2004.05.15 Alcyone@pku

题目链接：poj.org/problem?id=1659

题目大意：给出一个非负整数的序列，问这个序列是否是可图序列，而是否可图，再根据Havel-Hakimi定理的方法来构图

解题思路：

Havel—Hakimi定理：由非负数组成的非增序列s:d₁，d₂，···，d_n（n>=2，d1>=1）是可图的，当仅当序列

s₁：d₂-1，d₃-1，···，d_d1+1 -1,d_d1+2，····，d_n

是可图的。序列s1中有n-1个非负数，s序列中d1后的前d1个度数减1后构成s1中的前d1个数。

 判定过程：（1）对当前数列排序，使其呈递减

（2）从v【2】开始对其后v【1】个数字-1

（3）一直循环直到当前序列出现负数（即不是可图的情况）或者当前序列全为0 （可图）时退出。

3，举例：
序列S：7,7,4,3,3,3,2,1 
删除序列S的首项 7 ，对其后的7项每项减1，
得到：6,3,2,2,2,1,0，
继续删除序列的首项6，
对其后的6项每项减1，
得到：2,1,1,1,0，-1，
到这一步出现了负数，因此该序列是不可图的

再举例：
序列：4 3 1 5 4 2 1
排序之后：5 4 4 3 2 1 1
删除5对后面5个数减1操作
3 3 2 1 0 1
排序
3 3 2 1 1 0
删除3对后面3个数减1操作
2 1 0 1 0
排序
2 1 1 0 0
删除2 对后面2个数减1操作
0 0 0 0
全为0，可图

下面给出AC详解代码：

 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 #define N 15
 struct vertex
 {
     int degree;//顶点的度数
     int index;//顶点的序号
 }v[N];
 int cmp(const void *a,const void *b)
 {
     return ((vertex*)b)->degree-((vertex*)a)->degree;//度数按照从大到小排序
 }
 int main()
 {
     int r,k,p,q;//循环变量
     int i,j;//顶点序号(用于确定图中边的两个顶点)
     int d1;//对剩下序列排序后的第一个顶点(度数最大的顶点)的度数
     int T,n;//T表示测试数据个数,n表示湖泊个数
     int Edge[N][N],flag;//用数组Edge构建邻接矩阵,flag为是否存在合理相邻关系的标志
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d",&n);
         for(i=;i<n;i++)
         {
             scanf("%d",&v[i].degree);
             v[i].index=i;//按输入顺序给每个湖泊编号
         }
         memset(Edge,,sizeof(Edge));//数组清零
         flag=;
         for(int k=;k<n&&flag;k++)
         {
             qsort(v+k,n-k,sizeof(vertex),cmp);//对v数组后n-k个元素按非递增序列排序
             i=v[k].index;//第k个顶点的序号
             d1=v[k].degree;//第k个顶点的度数
             if(d1>n-k-)//根据Havel-Hakimi定理可知,如果第k个元素的度数超过剩余的n-k个顶点数,显然不成立，标记为0
                 flag=;
             for(r=;r<=d1&&flag;r++)
             {
                 j=v[k+r].index;//后面d1个顶点中每个顶点的序号
                 if(v[k+r].degree<=)//根据Havel-Hakimi定理可知,对最大度数后面的d1个度数各减1后,出现了负数，显然不成立，标记为0
                     flag=;
                 v[k+r].degree--;
                 Edge[i][j]=Edge[j][i]=;//此题为无向图,无向图的任意两点存在一条边即可说明两点有关联,并且用Edge数组进行标记
             }
         }
         if(flag)
         {
             puts("YES");
             for(p=;p<n;p++)
             {
                 for(q=;q<n;q++)
                 {
                     if(q)
                         printf(" ");
                     printf("%d",Edge[p][q]);//打印邻接矩阵
                 }
                 puts("");//换行符,用printf("\n")也行！
             }
         }
         else puts("NO");
         if(T)
             puts("");//换行符
     }
     return ;
 }

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