SPFA的两个优化

评测题：洛谷【模板】单源最短路径

不加任何优化：

 queue<int>q;
 void spfa(ll s)
 {
     for(ll i=;i<=n;i++) d[i]=(ll)();
     d[s]=;q.push(s);v[s]=;
     while(!q.empty())
     {
         ll ff=q.front();q.pop();v[ff]=;
         for(ll i=h[ff];i;i=e[i].ne)
         {
             ll rr=e[i].v;
             if(d[rr]>d[ff]+e[i].c)
             {
                 d[rr]=d[ff]+e[i].c;
                 if(!v[rr]) q.push(rr),v[rr]=;

             }
         }
     }
 }

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优化1（SLF：Small Label First）：

使用双端队列（详见代码注释）

证明：显然定理

 deque<ll>q;
 void spfa(ll s)
 {
     for(ll i=;i<=n;i++) d[i]=(ll)(),v[i]=;
     d[s]=;q.push_back(s);v[s]=;//双端队列
     while(!q.empty())
     {
         ll ff=q.front();q.pop_front();v[ff]=;
         for(ll i=h[ff];i;i=e[i].ne)
         {
             ll rr=e[i].v;
             if(d[rr]>d[ff]+e[i].c)
             {
                 d[rr]=d[ff]+e[i].c;
                 if(!v[rr])
                 {
                     if(q.empty() || d[rr]>=d[q.front()]) q.push_back(rr);
                     else q.push_front(rr);
                     //如果当前点的dis<队列首的dis，就把当前点放在队列首
                     //让它优先去更新其他点，减少入队次数
                     //注意，特殊情况，如果队列为空的话，要放在队列为，不然会RE
                     v[rr]=;
                 }
             }
         }
     }
 }

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优化2（LLL：Large Label Last）：

使用双端队列，sum为队列中所以元素的dis和，o为队列中元素个数

即x=sum/o;

对于当前点i,如果dis[i]>=x  则将点i插入到队列尾，否则放到队列首。

证明:不会。

 deque<int>q;
 void spfa(ll s)
 {
     for(ll i=;i<=n;i++) d[i]=(ll)();
     d[s]=;q.push_back(s);v[s]=;
     sum+=d[s];o++;
     while(!q.empty())
     {
         ll ff=q.front();q.pop_front();v[ff]=;
         sum-=d[ff];o--;
         for(ll i=h[ff];i;i=e[i].ne)
         {
             ll rr=e[i].v;
             if(d[rr]>d[ff]+e[i].c)
             {
                 d[rr]=d[ff]+e[i].c;
                 if(!v[rr])
                 {
                     v[rr]=;
                     if(q.empty() || o*d[rr]>=sum) q.push_back(rr);
                     else q.push_front(rr);
                     //注意，特殊情况，如果队列为空的话，要放在队列为，不然会RE
                 }

             }
         }
     }
 }

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两个优化一起上：

 bool v[];
 deque<int>q;
 void spfa(ll s)
 {
     for(ll i=;i<=n;i++) d[i]=(ll)();
     d[s]=;q.push_back(s);v[s]=;
     sum+=d[s];o++;
     while(!q.empty())
     {
         ll ff=q.front();q.pop_front();v[ff]=;
         sum-=d[ff];o--;
         for(ll i=h[ff];i;i=e[i].ne)
         {
             ll rr=e[i].v;
             if(d[rr]>d[ff]+e[i].c)
             {
                 d[rr]=d[ff]+e[i].c;
                 if(!v[rr])
                 {
                     v[rr]=;
                     if(q.empty() || d[rr]>=d[q.front()] || o*d[rr]>=sum)
                      q.push_back(rr);
                     else q.push_front(rr);
                 }

             }
         }
     }
 }

至此，完。

腐草无光，化为萤而跃彩于夏月。