射线法（1190 - Sleepwalking ）

题目：http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1190

参考链接：https://blog.csdn.net/gkingzheng/article/details/81836308

http://www.mamicode.com/info-detail-1555428.html

一、比如说，我就随便涂了一个多边形和一个点，现在我要给出一种通用的方法来判断这个点是不是在多边形内部（别告诉我用肉眼观察……）。

首先想到的一个解法是从这个点做一条射线，计算它跟多边形边界的交点个数，如果交点个数为奇数，那么点在多边形内部，否则点在多边形外。

这个结论很简单，那它是怎么来的？下面就简单讲解一下。

首先，对于平面内任意闭合曲线，我们都可以直观地认为，曲线把平面分割成了内、外两部分，其中“内”就是我们所谓的多边形区域。

基于这一认识，对于平面内任意一条直线，我们可以得出下面这些结论：

• 直线穿越多边形边界时，有且只有两种情况：进入多边形或穿出多边形。
• 在不考虑非欧空间的情况下，直线不可能从内部再次进入多边形，或从外部再次穿出多边形，即连续两次穿越边界的情况必然成对。
• 直线可以无限延伸，而闭合曲线包围的区域是有限的，因此最后一次穿越多边形边界，一定是穿出多边形，到达外部。

现在回到我们最初的题目。假如我们从一个给定的点做射线，还可以得出下面两条结论：

• 如果点在多边形内部，射线第一次穿越边界一定是穿出多边形。
• 如果点在多边形外部，射线第一次穿越边界一定是进入多边形。

把上面这些结论综合起来，我们可以归纳出：

• 当射线穿越多边形边界的次数为偶数时，所有第偶数次（包括最后一次）穿越都是穿出，因此所有第奇数次（包括第一次）穿越为穿入，由此可推断点在多边形外部。
• 当射线穿越多边形边界的次数为奇数时，所有第奇数次（包括第一次和最后一次）穿越都是穿出，由此可推断点在多边形内部。

到这里，我们已经了解了这个解法的思路，大家可以试着自己写一个实现出来。关于算法实现中某些具体问题和边界条件的处理，下次接着写，这次画图已经画够了……

后记：给出这个解法后，我简单搜了一下，原来这种算法就叫做射线法（ray casting）或者奇偶规则法（even odd rule），是一种早已被广泛应用的算法。后面还打算介绍另一种通过回转数（winding number，拓扑学的一个概念）解这个问题的思路。

二、射线法在实际应用中的一些问题和解决方案。

1. 点在多边形的边上

   前面我们讲到，射线法的主要思路就是计算射线穿越多边形边界的次数。那么对于点在多边形的边上这种特殊情况，射线出发的这一次，是否应该算作穿越呢？

   

   看了上面的图就会发现，不管算不算穿越，都会陷入两难的境地——同样落在多边形边上的点，可能会得到相反的结果。这显然是不正确的，因此对这种特殊情况需要特殊处理。

2. 点和多边形的顶点重合

   

   这其实是第一种情况的一个特例。

3. 射线经过多边形顶点

   射线刚好经过多边形顶点的时候，应该算一次还是两次穿越？这种情况比前两种复杂，也是实现中的难点，后面会讲解它的解决方案。

   

4. 射线刚好经过多边形的一条边

   这是上一种情况的特例，也就是说，射线连续经过了多边形的两个相邻顶点。

   

解决方案：

1. 判断点是否在线上的方法有很多，比较简单直接的就是计算点与两个多边形顶点的连线斜率是否相等，中学数学都学过。

2. 点和多边形顶点重合的情况更简单，直接比较点的坐标就行了。

3. 顶点穿越看似棘手，其实我们换一个角度，思路会大不相同。先来回答一个问题，射线穿越一条线段需要什么前提条件？没错，就是线段两个端点分别在射线两侧。只要想通这一点，顶点穿越就迎刃而解了。这样一来，我们只需要规定被射线穿越的点都算作其中一侧。

   

   如上图，假如我们规定射线经过的点都属于射线以上的一侧，显然点D和发生顶点穿越的点C都位于射线Y的同一侧，所以射线Y其实并没有穿越CD这条边。而点C和点B则分别位于射线Y的两侧，所以射线Y和BC发生了穿越，由此我们可以断定点Y在多边形内。同理，射线X分别与AD和CD都发生了穿越，因此点X在多边形外，而射线Z没有和多边形发生穿越，点Z位于多边形外。

4. 解决了第三点，这一点就毫无难度了。根据上面的假设，射线连续经过的两个顶点显然都位于射线以上的一侧，因此这种情况看作没有发生穿越就可以了。由于第三点的解决方案实际上已经覆盖到这种特例，因此不需要再做特别的处理

5. 代码：
   /*
   射线法:判断一个点是在多边形内部，边上还是在外部,时间复杂度为O(n)；
   射线法可以正确用于凹多边形；
   射线法是使用最广泛的算法，这是由于相比较其他算法而言，它不但可以正
   确使用在凹多边形上，而且不需要考虑精度误差问题。该算法思想是从点出
   发向右水平做一条射线，计算该射线与多边形的边的相交点个数，当点不在
   多边形边上时，如果是奇数，那么点就一定在多边形内部，否则，在外部。
   */
   #include <stdio.h>
   #include <algorithm>
   #include <cstring>
   #include <cmath>
   using namespace std;
   const int N = 2010;
   const double eps = 1e-10;
   const int INF = 0x3f3f3f3f;
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   struct point
   {
       double x, y;
       point(double x=0, double y=0) : x(x), y(y){}
       friend point operator - (const point& p1, const point& p2)
       {
           return point(p1.x-p2.x, p1.y-p2.y);
       }
       friend double operator ^ (const point& p1, const point& p2)
       {
           return p1.x*p2.y - p1.y*p2.x;
       }
   };
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   struct Segment
   {
       point s, e;
   };
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   ///判断一个double类型的数是  0  <0  >0;
   int Sign(double x)
   {
       if( fabs(x) < eps )return 0;
       if(x > 0)return 1;
       return -1;
   }
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   ///判断o在ab的哪边；0:o在直线ab上; >0:在左边; <0:在右边；
   double cross(point o, point a, point b)
   {
       return ((a-o)^(b-o));
   }
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   ///已知abc三点在一条直线上，判断点a是否在线段bc之间；<=0:在   >0:不在;
   int Between(point a, point b, point c)
   {
       if(fabs(b.x-c.x) > fabs(b.y-c.y))
           return Sign(min(b.x, c.x)-a.x)*Sign(max(b.x, c.x)-a.x);
       else
           return Sign(min(b.y, c.y)-a.y)*Sign(max(b.y, c.y)-a.y);
   }
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   ///判断点p0和线段S上，<=0:在，1:不在；
   int PointOnSegment(point p0, Segment S)
   {
       if(Sign(cross(S.s, S.e, p0)) == 0)
           return Between(p0, S.s, S.e);
       return 1;
   }
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   ///求线段a和线段b的交点个数；
   int SegmentCross(Segment a, Segment b)
   {
       double x1 = cross(a.s, a.e, b.s);
       double x2 = cross(a.s, a.e, b.e);
       double x3 = cross(b.s, b.e, a.s);
       double x4 = cross(b.s, b.e, a.e);
       if(Sign(x1*x2)<0 && Sign(x3*x4)<0) return 1;
       if((Sign(x1)==0 && Between(b.s, a.s, a.e)<=0) ||
          (Sign(x2)==0 && Between(b.e, a.s, a.e)<=0) ||
          (Sign(x3)==0 && Between(a.s, b.s, b.e)<=0) ||
          (Sign(x4)==0 && Between(a.e, b.s, b.e)<=0))
          return 2;
       return 0;
   }
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   ///判断点p0与含有n个节点的多边形的位置关系，p数组是顶点集合；
   ///返回0:边上或顶点上,    1:外面,   -1:里面;
   int PointInPolygon(point p0, point p[], int n)
   {
       Segment L, S;
       point temp;
       L.s = p0, L.e = point(INF, p0.y);///以p0为起点的射线L；
       int counts = 0;
       p[n] = p[0];
       for(int i=1; i<=n; i++)
       {
           S.s = p[i-1], S.e = p[i];
           if(PointOnSegment(p0, S) <= 0) return 0;
           if(S.s.y == S.e.y) continue;///和射线平行；
           if(S.s.y > S.e.y) temp = S.s;
           else temp = S.e;
           if(PointOnSegment(temp, L) == -1)
               counts ++;
           else if(SegmentCross(L, S) == 1)
               counts ++;
       }
       if(counts%2) return -1;
       return 1;
   }
   //////////////////////////////////////////////////////////////////
   int main()
   {
       point p[N];
       int T, tCase = 1, n, q;
       scanf("%d", &T);
       while(T--)
       {
           scanf("%d", &n);
           for(int i=0; i<n; i++)
               scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);
           scanf("%d", &q);
           printf("Case %d:\n", tCase++);
           for(int i=1; i<=q; i++)
           {
               int x, y;
               scanf("%d %d", &x, &y);
               int ans = PointInPolygon(point(x, y), p, n);
               if(ans == 1) puts("No");
               else puts("Yes");
           }
       }
       return 0;
   }