P1742 最小圆覆盖（计算几何）

体验过\(O(n^3)\)过\(10^5\)吗？快来体验一波当\(wys\)的快感吧\(QAQ\)

前置芝士1：二元一次方程组求解

设

\[\begin{cases}a1 * x + b1*y=c1\\a2 * x + b2*y=c2\end{cases}
\]

（其中\(a1,a2,b1,b2,c1,c2\)为已知量）

由\(②\)式得：

\[x=\frac{c2-b2*y}{a2}
\]

带入\(①\)式并化简得：

\[y=\frac{c1-\frac{a1*c2}{a2}}{b1-\frac{a1*b2}{a2}}
\]

分子分母同时乘以\(a2\)得：

\[y=\frac{a2*c1-a1*c2}{a2*b1-a1*b2}
\]

同理可得（把\(a,b\)互换即可）：

\[x=\frac{b2*c1-b1*c2}{b2*a1-b1*a2}
\]

前置芝士2：三点定圆

给出三个点，求出圆心&半径

\[\begin{cases}x1^2-2x1*x0+x0^2+y1^2-2y1*y0+y0^2=r^2\\x2^2-2x2*x0+x0^2+y2^2-2y2*y0+y0^2=r^2\\x3^2-2x3*x0+x0^2+y3^2-2y3*y0+y0^2=r^2\end{cases}
\]

\(②-①\)和\(③-①\)，并化简得：

\[\begin{cases}2*(x2-x1)x+2*(y2-y1)y=x2^2-x1^2+y2^2-y1^2\\2*(x3-x1)x+2*(y3-y1)y=x3^2-x1^2+y3^2-y1^2\end{cases}
\]

我们将三点定圆的柿子对应二元一次方程组中，可知：

\[a1=x2-x1,\quad a2=x3-x1
\]

\[b1=y2-y1,\quad b2=y3-y1
\]

\[c1=\frac{x2^2-x1^2+y2^2-y1^2}{2},\quad c2=\frac{x3^2-x1^2+y3^2-y1^2}{2}
\]

然后就可以根据三个点求出圆心和半径了

正文

跟据前置芝士，我们知道对于任意三个不共线的点，我们可以求出三点定的圆，所以一个明显的想法就是枚举三个点

我们先枚举第一个点，有两种情况

①：当前点在当前外面，即\(dis(\)圆心,该点\()>r\)那么我们不管这个点

②：不是情况①的情况，那么我们就需要重新构造这个圆来包含所有的点了

怎么构造呢？我们重新枚举两外两个已经遍历过的点，组成三个点。同理，若重新构造的圆包括了三个点，那么就不管，若有任意一个在圆外，那么我们根据前置芝士重新确定圆心和半径即可

PS：本题出题人过于duliu，故意构造数据卡掉了上述解法，所以我们需要一个神奇的东西：随\((da)\)机\((luan)\)增\((shu)\)量\((ju)\)法，来防止掉精度

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define D double
il int read()
{
    re int x = 0, f = 1; re char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
    return x * f;
}
#define rep(i, s, t) for(re int i = s; i <= t; ++ i)
#define eps 1e-12
#define maxn 100005
#define ff(x) (x) * (x)
int n, m;
D r;
struct node
{
	D x, y;
}o, e[maxn];
il D dis(node a, node b){return sqrt(ff(a.x - b.x) + ff(a.y - b.y));}
il void get(node a, node b, node c)
{
	D a1 = b.x - a.x, a2 = c.x - a.x, b1 = b.y - a.y, b2 = c.y - a.y;
	D c1 = (ff(b.x) - ff(a.x) + ff(b.y) - ff(a.y));
	D c2 = (ff(c.x) - ff(a.x) + ff(c.y) - ff(a.y));
	o = (node){(b2 * c1 - b1 * c2) / (b2 * a1 * 2 - b1 * a2 * 2),
			   (a2 * c1 - a1 * c2) / (a2 * b1 * 2 - a1 * b2 * 2)};
	r = dis(a, o);
}
il void work()
{
	o = e[1], r = 0;
	rep(i, 2, n)
	{
		if(dis(o, e[i]) > r + eps)
		{
			o = e[i], r = 0;
			rep(j, 1, i - 1)
			{
				if(dis(o, e[j]) > r + eps)
				{
					o.x = (e[i].x + e[j].x) / 2, o.y = (e[i].y + e[j].y) / 2;
					r = dis(o, e[j]);
					rep(k, 1, j - 1) if(dis(o, e[k]) > r + eps) get(e[i], e[j], e[k]);
 				}
			}
		}
	//	printf("%.10lf\n%.10lf %.10lf\n", r, o.x, o.y);
	}
}
int main()
	n = read();
	rep(i, 1, n) scanf("%lf%lf", &e[i].x, &e[i].y);
    random_shuffle(e + 1, e + n + 1);
	work();
	printf("%.10lf\n%.10lf %.10lf", r, o.x, o.y);
	return 0;
}