稀疏矩阵三元组表快速转置（C语言实现）

本来准备昨天下午写的，但是因为去参加360众测靶场的考核耽搁了，靶场的题目还是挺基础的。

继续学习吧。

使用黑色墨水在白纸上签名就像由像素点构成的稀疏矩阵。如图4所示。

图4 手写体签名

【问题】请将以下稀疏点阵信息用三元组表进行存储，并：

	*	*	*	*	*	*	*
*								*
*								*
							*
						*
					*
				*
			*
		*
	*
*	*	*	*	*	*	*	*	*	*

(1)用稀疏矩阵快速转置法对该矩阵进行转置。转置前后的三元组表均以行序为主序。

(2) 以阵列形式输出转置前后的稀疏矩阵，如图5所示。

     

　　　　　　　　　　　图5  (a)转置前                   (b)转置后

先普及一下稀疏矩阵的概念：

简单理解稀疏矩阵就是元素大部分为零的矩阵，在实际生活中我们遇到的大型稀疏矩阵，如果按照常规的储存方法，就会造成大量空间的浪费，而且在访问和操作的时候也会造成大量时间上的浪费。三元组表就是为了解决这一问题而产生的解决方案之一。

稀疏矩阵由于其自身的稀疏特性，通过压缩可以大大节省稀疏矩阵的内存代价。具体操作是：将非零元素所在的行、列以及它的值构成一个三元组（i，j，v），然后再按某种规律存储这些三元组，这种方法可以节约存储空间，而这些三元组的集合，就是三元组表。

我们一步步来，将问题分解为一个个小模块，先将稀疏矩阵存储在三元组表中

因为C语言中没有三元组这种数据类型，所以我们先使用typedef定义三元组表：

typedef struct{
	int i,j,val;
}NODE;

　　i,j,val分别表示三元组表的行，列以及非零元素的值。

这里的需要储存的稀疏矩阵也一起定义了

int nums[11][10]={
	{0,1,1,1,1,1,1,1,0,0},
	{1,0,0,0,0,0,0,0,1,0},
	{1,0,0,0,0,0,0,0,1,0},
	{0,0,0,0,0,0,0,1,0,0},
	{0,0,0,0,0,0,1,0,0,0},
	{0,0,0,0,0,1,0,0,0,0},
	{0,0,0,0,1,0,0,0,0,0},
	{0,0,0,1,0,0,0,0,0,0},
	{0,0,1,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,1,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}
	};

　　这里有一个问题是：

　　　　将稀疏矩阵存储到三元组表中时，需要记录稀疏矩阵的行列值吗？

答案是肯定的，如果不存储稀疏矩阵的行列值，当遇到稀疏矩阵最后一行全部是0的情况，由稀疏矩阵得到的三元组表，是无法还原成原来的稀疏矩阵的。

在上面的稀疏矩阵中，一共有28个非零元素，行值为11，列值为10，所以我们需要申请29个三元组的储存空间，多余的那一个储存空间用来存储稀疏矩阵的行，列值，以及稀疏矩阵中非零元素的个数

#define T 28
NODE matrix[T+1];
matrix[0].i=11;
matrix[0].j=10;
matrix[0].val=0;

　　用三元组表中第0个元素存储稀疏矩阵的基础信息

然后就到了将稀疏矩阵nums存储进三元组表的操作，遍历稀疏矩阵，当有元素为1的时候，将三元组表非零元素数量matrix[0].val++;然后依次将稀疏矩阵非零元素的信息存储进三元组表中

void init_matrix(NODE* matrix){
	int i,j;
	for(i=0;i<matrix[0].i;i++){
		for(j=0;j<matrix[0].j;j++){
			if(nums[i][j]==1){
				matrix[0].val++;
				matrix[matrix[0].val].i=i;
				matrix[matrix[0].val].j=j;
				matrix[matrix[0].val].val=nums[i][j];
			}
		}
	}
}

　　

存储了之后我们将三元组表输出还原成稀疏矩阵，看是否能正确还原

void put_matrix(NODE* matrix){
	int i,j;
	int count=1;
	for(i=0;i<matrix[0].i;i++){
		for(j=0;j<matrix[0].j;j++){
			if(i==matrix[count].i&&j==matrix[count].j){
				printf("%d",matrix[count].val);
				count++;
			}else{
				printf("0");
			}
		}
		printf("\n");
	}
}

　　程序运行的结果是

可以看到显示与原稀疏矩阵相同，说明存储入三元组表是正确的

接下来我们进行三元组表的快速转置，先贴一张上课时候的PPT

当然如果直接看PPT的话很有可能还是一头雾水，所以举一个形象的例子：

一个年级有四个班的同学，一班有20人，二班有30人，三班有40人，四班有50人，全年级的同学一起到电影院看电影，进了电影院之后，告诉我们要按照班级的顺序坐座位，座位只有一排，大家进电影院的时候都是跟自己熟悉的朋友一起，自然是乱序的，那我们应该怎么才能快速依次按照班级的顺序坐座位呢？

有一个办法是，大家随便坐座位，到了位置上之后，再进行班级顺序的比较，让一班的同学坐一班的位置，二班的同学坐二班的位置等等等，但是这样两两进行比较，效率未免过于低下。

另外的一个办法是，坐座位的时候，先把人群里面的一班同学筛选出来，依次放在一班同学的位置，然后再将人群里面的二班同学筛选出来，放在一班同学的后面位置，然后。。。

思考了之后，好像没有能够只筛选（遍历）一次人群就坐好座位的办法。

当然是！有的

所以就引入快速转置三元组表的办法，即如果我们提前知道每个班有多少人，在遍历人群的时候，只需要将其放在每个班开始的位置就行了。

如人群的开始班级排列是这样的 2,3,1,4,2,2,3.。。。。第一个同学是2班的，我们将其安排在第21号座位上（假设座位号是从1开始），因为我们知道前面会有20个一班的同学要坐座位，接着二号同学是三班的，安排在51号座位，三号同学是1班的，安排在1号座位，四号同学是四班的，安排在91号座位，五号同学！又是二班的，但是原来二班的同学已经坐了21号，所以我们理所当然地坐在22号座位，后面的也是这样，只需要遍历一次原人群，就能将同学们按照顺序坐在相应的位置上了。

但是在上面的描述中，我们需要知道每个班有多少人，以及每个班的第一个位置是在哪里（比如最开始二班同学的第一个位置是21号座位，有同学坐了21号座位之后，第一个位置自然就后移成22号座位了，等待下一个同学来坐，坐了之后再继续后移），所以需要两个辅助数组来存储这两个信息

num数组用来存储每个班中的人数，cpot数组用来存储每个班的第一个位置。

在三元组表快速转置中,num[i]表示原三元组表中第i列中非零元的个数，cpot[i]表示原三元组表中第i列中第一个非零元素的在新的三元组表中的位置（cpot这一段可能有点绕，再解释一下，因为在题目中，我们需要转置之后的三元组表按照行主序排列，由于是转置之后的，说明我们的顺序在转置之前，是按照列序在新的三元组表中放置，即如果新的三元组表中有(2,1),(1,2)，那么(1,2)会在(2,1)的下面，因为2>1，找到其在三元组表中对应的位置后，再进行行列转置）

接下来将新三元组表中第0元素设置好

new_matrix[0].i=matrix[0].j;
new_matrix[0].j=matrix[0].i;
new_matrix[0].val=matrix[0].val;

　　然后初始化num数组和cpot数组，这里需要提到的是两个PPT里面也显示了的关系，再贴一次：

cpot[i]表示原三元组表中第i列中第一个非零元素在新的三元组表中的位置，可以理解为同学们去看电影的时候，每个班在电影院座位上的最开始那个座位，比如二班的同学最开始是21，三班的同学是51，但是有一个显而易见的事实是（别告诉我你没看出来:-)当然没看出来也没事），一班的同学在座位中最开始的座位是1，这个是不需要遍历人群，也不需要由班级人数可以确定的，而其他每个班开始的位置，是上一个班的开始位置+上一个班的人数，如21=1+20,1是一班开始的座位，20是1班的人数，三班的同学由二班的位置又可以得到51=21+30，依次类推初始化cpot

for(i=0;i<matrix[0].j;i++){
		num[i]=0;
	}
	for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){
		num[matrix[i].j]++;
	}
	cpot[0]=1;
	for(i=1;i<matrix[0].j;i++){
		cpot[i]=cpot[i-1]+num[i-1];
	}

　　最后就是最关键的转置的时候了，当然经过前面这么多的铺垫，最后这一步已经显得很简单了，和大家去看电影这个例子一样，按照步骤放位置就行了。

使用tmp变量存储该元素属于哪一列（哪一个班级），first变量存储其列在新的三元组表中存储的位置（该班级同学坐的第一个位置），然后将原三元组表中的数据转置之后放进去就行了，最后让这个列在新的三元组表中存储位置后移一位（后来的该班同学只好坐在这个同学后面啦），代码已经不是很重要了

for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){
		tmp=matrix[i].j;
		first=cpot[tmp];
		new_matrix[first].i=matrix[i].j;
		new_matrix[first].j=matrix[i].i;
		new_matrix[first].val=matrix[i].val;
		cpot[tmp]++;
	}

　　分析完了之后是不是感觉也没那么难了呢，其实关键的代码只有那么几处，慢慢分析是可以缕清思路的。

转置后输出结果为：

完整代码如下：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAX 111

int nums[11][10]={
	{0,1,1,1,1,1,1,1,0,0},
	{1,0,0,0,0,0,0,0,1,0},
	{1,0,0,0,0,0,0,0,1,0},
	{0,0,0,0,0,0,0,1,0,0},
	{0,0,0,0,0,0,1,0,0,0},
	{0,0,0,0,0,1,0,0,0,0},
	{0,0,0,0,1,0,0,0,0,0},
	{0,0,0,1,0,0,0,0,0,0},
	{0,0,1,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,1,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}
	};
typedef struct{
	int i,j,val;
}NODE;
#define T 28

void put_matrix(NODE* matrix){
	int i,j;
	int count=1;
	for(i=0;i<matrix[0].i;i++){
		for(j=0;j<matrix[0].j;j++){
			if(i==matrix[count].i&&j==matrix[count].j){
				printf("%d",matrix[count].val);
				count++;
			}else{
				printf("0");
			}
		}
		printf("\n");
	}
}
void init_matrix(NODE* matrix){
	int i,j;
	for(i=0;i<matrix[0].i;i++){
		for(j=0;j<matrix[0].j;j++){
			if(nums[i][j]==1){
				matrix[0].val++;
				matrix[matrix[0].val].i=i;
				matrix[matrix[0].val].j=j;
				matrix[matrix[0].val].val=nums[i][j];
			}
		}
	}
}
void put_nums(){
	int i,j;
	for(i=0;i<11;i++){
		for(j=0;j<10;j++){
			printf("%d",nums[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}

void reverse_matrix(NODE* matrix,NODE* new_matrix){
	int num[matrix[0].j],cpot[matrix[0].j];
	int tmp,first,i;
	new_matrix[0].i=matrix[0].j;
	new_matrix[0].j=matrix[0].i;
	new_matrix[0].val=matrix[0].val;
	for(i=0;i<matrix[0].j;i++){
		num[i]=0;
	}
	for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){
		num[matrix[i].j]++;
	}
	cpot[0]=1;
	for(i=1;i<matrix[0].j;i++){
		cpot[i]=cpot[i-1]+num[i-1];
	}
	//转置存储
	for(i=1;i<=matrix[0].val;i++){
		tmp=matrix[i].j;
		first=cpot[tmp];
		new_matrix[first].i=matrix[i].j;
		new_matrix[first].j=matrix[i].i;
		new_matrix[first].val=matrix[i].val;
		cpot[tmp]++;
	}
}

int main(){
	int i,j;
	NODE matrix[T+1],new_matrix[T+1];
	matrix[0].i=11;
	matrix[0].j=10;
	matrix[0].val=0;
	printf("储存入三元组表前:\n");
	put_nums();
	printf("初始化三元组表...");
	init_matrix(matrix);
	printf("\n使用三元组表按行主序进行储存后:\n");
	put_matrix(matrix);
	printf("正在转置...");
	reverse_matrix(matrix,new_matrix);
	printf("\n转置后的结果为:\n");
	put_matrix(new_matrix);
	return 0;
}

　　

以上

matrix[