【BZOJ】1095: [ZJOI2007]Hide 捉迷藏 括号序列+线段树

【题目】BZOJ 1095

【题意】给定n个黑白点的树，初始全为黑点，Q次操作翻转一个点的颜色，或询问最远的两个黑点的距离，\(n \leq 10^5,Q \leq 5*10^5\)。

【算法】括号序列+线段树

【题解】参考：konjac

括号序列其实就是入栈出栈序，每个点在进入时加左括号和点编号，退出时加右括号。

这样做的好处：两个点间的括号数（除去匹配的括号）就是两点间路径的长度。

除去匹配的括号后，容易发现两个点间的括号时“)))((("的形式，右括号就是向上一条边，左括号就是向下一条边。

考虑两个区间的合并（只是区间不是线段树区间），记\(a_1\)表示左区间的右括号，\(b_1\)表示左区间的左括号，\(a_2,b_2\)表示右区间的。

\[a+b=a_1+b_2+|a_2-b_1|=max\{(a_1-b_1)+(a_2+b_2),(a_1+b_1)+(b_2-a_2)\}
\]

\[a-b=(a_1-b_1)+(a_2-b_2)
\]

\[b-a=(b_1-a_1)+(b_2-a_2)
\]

那么这道题，用线段树维护括号序列，支持单点修改和区间查询，需要记录以下这些量：

• \(a\)：右括号数
• \(b\)：左括号数
• \(l_1\)：左端点到某个黑点的b+a的最大值
• \(l_2\)：左端点到某个黑点的b-a的最大值
• \(r_1\)：右端点到某个黑点的a+b的最大值
• \(r_2\)：右端点到某个黑点的a-b的最大值
• \(ans\)：区间最远的两个黑点的距离

之所以维护这些量是因为：

\[ans=max\{L.ans,R.ans,L.r_1+R.l_2,L.r_2+R.l_1\}
\]

答案要么来自左区间或右区间，要么跨越中点。考虑中点分割的左右两部分，如果\(b_1>a_2\)那么答案就是左区间右起的a+b和右区间左起b-a，否则答案是左区间右起的a-b和右区间左起的a+b。

其它的量根据上面的三条合并法则可以快速合并。

初始化：考虑实际意义，左右括号除了ab其它全部-inf，黑点除了ans其它全部0。

复杂度\(O(n \ \ log \ \ n)\)。

注意：左区间维护的是b-a，这样才是取最大值，如果维护a-b就是最小值了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool isdigit(char c){return c>='0'&&c<='9';}
int read(){
	int s=0,t=1;char c;
	while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-1;
	do{s=s*10+c-'0';}while(isdigit(c=getchar()));
	return s*t;
}
const int maxn=300010,inf=0x3f3f3f3f;
int n,tot,ed,a[maxn],pos[maxn],first[maxn];
struct edge{int v,from;}e[maxn*2];
struct tree{int l,r,a,b,l1,l2,r1,r2,ans;}t[maxn*4];
void insert(int u,int v){ed++;e[ed].v=v;e[ed].from=first[u];first[u]=ed;}
void dfs(int x,int fa){
	a[++tot]=-1;
	a[pos[x]=++tot]=1;
	for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].v!=fa){
		dfs(e[i].v,x);
	}
	a[++tot]=-2;
}
int max(int a,int b){return a<b?b:a;}
void up(int k){
	int l=k<<1,r=k<<1|1;
	t[k].a=t[l].a+max(0,t[r].a-t[l].b);
	t[k].b=t[r].b+max(0,t[l].b-t[r].a);
	t[k].l1=max(t[l].l1,max(t[l].a-t[l].b+t[r].l1,t[l].a+t[l].b+t[r].l2));
	t[k].l2=max(t[l].l2,t[l].b-t[l].a+t[r].l2);//
	t[k].r1=max(t[r].r1,max(t[r].b-t[r].a+t[l].r1,t[r].a+t[r].b+t[l].r2));
	t[k].r2=max(t[r].r2,t[r].a-t[r].b+t[l].r2);
	t[k].ans=max(max(t[l].ans,t[r].ans),max(t[l].r1+t[r].l2,t[l].r2+t[r].l1));
}
void build(int k,int l,int r){
	t[k].l=l;t[k].r=r;
	if(l==r){
		if(a[l]==-1)t[k]=(tree){l,r,0,1,-inf,-inf,-inf,-inf,-inf};
		if(a[l]==-2)t[k]=(tree){l,r,1,0,-inf,-inf,-inf,-inf,-inf};//
		if(a[l]==1)t[k]=(tree){l,r,0,0,0,0,0,0,-inf};//
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);
	up(k);
}
void modify(int k,int x,int y){
	if(t[k].l==t[k].r){
		if(y==1)t[k]=(tree){t[k].l,t[k].r,0,0,0,0,0,0,0};
		else t[k]=(tree){t[k].l,t[k].r,0,0,-inf,-inf,-inf,-inf,-inf};
		return;
	}
	int mid=(t[k].l+t[k].r)>>1;
	if(x<=mid)modify(k<<1,x,y);else modify(k<<1|1,x,y);
	up(k);
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u=read(),v=read();
		insert(u,v);insert(v,u);
	}
	dfs(1,0);
	build(1,1,tot);
	int Q=read();
	char s[10];
	int num=n;//
	while(Q--){
		scanf("%s",s);
		if(s[0]=='G'){
			if(num==1)printf("0\n");else if(num==0)printf("-1\n");
			else printf("%d\n",t[1].ans);
		}else{
			int x=read();
			modify(1,pos[x],a[pos[x]]^=1);
			if(a[pos[x]]==1)num++;else num--;
		}
	}
	return 0;
}