[TJOI2017] 城市 (树的直径,贪心)

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Solution

这道题,调了我一晚上... 一直80分 >_<|| ...

考虑到几点:

• 分开任意一条边 \(u\) ,那么其肯定会断成两棵树.
• 肯定是分开直径上的边最优,否则原树上最长的边仍然会存在. 其新树直径只有可能更大.
• 令两棵子树的直径分别为 \(dist_1,dist_2\) ,选取的两个点分别为 \(x_1,x_2.\)
  
  其达到两棵子树的最远距离分别为 \(dis_1,dis_2\).
  
  那么组成的新树直径即为:
  \[max(dist_1,dist_2,dis_1+dis_2+w_u)
  \]

所以我们先枚举断开直径上的边,然后分别找到断开后两棵子树的直径.

接着我们讨论 \(dis_1,dis_2\) 最优情况.

1. 其 \(dis\) 为其到子树直径较远的一端.
2. 如果 \(x_1,x_2\) 在子树的直径上,那么显然会更优,因为如果不在直径上,它还会多出一小段距离.
3. 然后就可以考虑在直径上的话,显然取直径的中点(如果有的话)会最优,因为此时相当于平分直径,然后使得可能的答案尽量小了.
4. 如果没有直径中点的话,那么我们可以找到一条“中边”,使得其断开的直径两端距离之差最小.

那么我们找的策略也就出来了.直接找到两棵子树上直径的 "中边",然后对两条中边上的四个点进行讨论选取即可.

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll inf=192608173;
using namespace std;
const int maxn=5008;
struct sj{int to,next;ll w;}
a[maxn*2];
int head[maxn],size;
int v[maxn],now[maxn];
int road[maxn],road1[maxn];
int n,num,cntt,cnt,x,y,w;
ll nowdis,maxx,ans=inf;
ll xx[maxn],xx1[maxn],dis[maxn];
ll dis1,dis2,dis3,dis4;

int read()
{
    int f=1,w=0; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch<='9'&&ch>='0'){w=w*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*w;
}

void add(int x,int y,int w)
{
    a[++size].to=y;
    a[size].next=head[x];
    head[x]=size;
    a[size].w=w;
}

void dfs(int x)
{
    v[x]=1;now[++num]=x;
    for(int i=head[x];i;i=a[i].next)
    {
        int tt=a[i].to;
        if(!v[tt])
        {
            nowdis+=a[i].w;
            dis[num]=a[i].w;
            dfs(tt);
            nowdis-=a[i].w;
        }
    }
    if(nowdis>maxx)
    {
        maxx=nowdis; cnt=num;
        for(int i=1;i<=cnt;i++)
        road[i]=now[i],xx[i]=dis[i];
        //每一次 road 都是找出来的临时最长边.
    }
    v[x]=0; num--;return;
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        x=read(); y=read(); w=read();
        add(x,y,w);
        add(y,x,w);
    }
    dfs(1); dfs(road[cnt]); cntt=cnt;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    road1[i]=road[i],xx1[i]=xx[i];
    //xx1为原直径上的边长度,road1为原直径上的点.
    for(int i=1;i<cntt;i++)
    {
        ll x1=0,x2=0,maxx1,maxx2;
        dis1=dis2=dis3=dis4=0;

        v[road1[i+1]]=1; maxx=-1;
        //给右边打上标记,让他仅在左边的子树中查询
        dfs(road1[i]);
        dfs(road[cnt]);
        maxx1=maxx;
        for(int j=1;j<cnt;j++)
        {
            x1+=xx[j];
            if(x1>maxx1-x1)
            {dis1=x1,dis2=maxx1-x1+xx[j];break;}
        }
        //找到"中边"

        v[road1[i]]=1; maxx=-1;
        //给左边打上标记
        dfs(road1[i+1]);
        dfs(road[cnt]);
        maxx2=maxx;
        for(int j=1;j<cnt;j++)
        {
            x2+=xx[j];
            if(x2>maxx2-x2)
            {dis3=x2,dis4=maxx2-x2+xx[j];break;}
        }
        v[road1[i]]=0;

        ans=min(ans,max(dis1+dis3+xx1[i],max(maxx1,maxx2)));
        ans=min(ans,max(dis1+dis4+xx1[i],max(maxx1,maxx2)));
        ans=min(ans,max(dis2+dis3+xx1[i],max(maxx1,maxx2)));
        ans=min(ans,max(dis2+dis4+xx1[i],max(maxx1,maxx2)));
    }
    cout<<ans<<endl;
}