微软面试题：鸡蛋从第N层及以上的楼层落下会摔破

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题目：

有一栋楼共100层，一个鸡蛋从第N层及以上的楼层落下来会摔破，在第N层以下的楼层落下不会摔破。给你2个鸡蛋，设计方案找出N，并且保证在最坏情况下，最小化鸡蛋下落的次数。(假设每次摔落时，如果没有摔碎，则不会给鸡蛋带来损耗)

形形色色的解答：

在参考下面的解答之前，请你先仔细思考10分钟。看你给出的方案最小下落次数是多少。如果题目总分10分，看看自己能得几分。

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解答1：得0分的答案

用二分法。

这基本可以说就是没有通过大脑得出来的答案，而且还貌似很牛掰的样子，并常常带着一个lgn的复杂度。如果你接着问怎么个二分法，他就答不上来了。

这个答案不是我杜撰出来的，而是我拿这个题目问过身边的一些人，其中有几个人真的随口就把二分法给说出来了。每当我听到二分法时，当我没问。

解答2：得5分的答案

如果我们动一下脑子仔细思考这个问题，我们会得到一个相对不错的答案。参加BAT面试那位朋友就给出了下面的这种方案，并自认为是一种很完美的答案。但面试官给出的回答是：我还是不满意。

据说，他这种思路的灵感来自于数学中的求极值问题。

已知两个自然数的和为25，求这两个数的平方和的最大、最小值。

解：设一个自然数为x 另一个自然数为25-x

x²+(25-x)²
=2x²-50x+625
=2(x²-25x+312.5)
=2[(x-12.5)²-156.25+312.5]
=2[（x-12.5）²+156.25]

所以可得：
当x取12.5时有最小值2×156.25=312.5 （当x==y==12.5时取得极小值）
当x取25时有最大值2×（12.5²+156.5）=625

因此，很容易得到启发(当然，这只是一种直觉，并没有什么理论依据。)。100层楼，平均分成10分，每份刚好10层。

那么我们的做法如下：

将100层楼分成10分，每一份就是10层楼。首先，将鸡蛋从第10层楼开始扔。

那么结果有两种可能：

情况1：如果碎了，说明临界楼层在1到10之间，但现在只剩下一个鸡蛋了，只能从第一层一直到第10层。

情况2：如果没有碎，接下来从第20层扔鸡蛋。

该方法的思路是，用一个鸡蛋来试探，找到临界楼层的大致范围[1~10]、[11-20]….[91-100]。然后用另一个鸡蛋在大致范围内找出精确楼层。该方法的最坏次数是：18次。(自己去算，如果你算出来是17次，那就17次呗：))

解答3：得10分的答案

这是真正有理有据的解答。具体如下所述：

我们先假设最坏情况下，鸡蛋下落次数为x，即我们为了找出N，一共用鸡蛋做了x次的实验。
那么，我们第一次应该在哪层楼往下扔鸡蛋呢？先让我们假设第一次是在第y层楼扔的鸡蛋，
如果第一个鸡蛋在第一次扔就碎了，我们就只剩下一个鸡蛋，要用它准确地找出N，只能从第一层向上，一层一层的往上测试，直到它摔坏为止，答案就出来了。
由于第一个鸡蛋在第y层就摔破了，所以最坏的情况是第二个鸡蛋要把第1到第y-1层的楼都测试一遍，最后得出结果，
噢，原来鸡蛋在第y-1层才能摔破(或是在第y-1层仍没摔破，答案就是第y层。)
这样一来测试次数是1+(y-1)=x，即第一次测试要在第x层。OK，
那如果第一次测试鸡蛋没摔破呢，那N肯定要比x大，要继续往上找，需要在哪一层扔呢？我们可以模仿前面的操作，如果第一个鸡蛋在第二次测试中摔破了，
那么第二个鸡蛋的测试次数就只剩下x-2次了(第一个鸡蛋已经用了2次)。这样一来，第二次扔鸡蛋的楼层和第一次扔鸡蛋的楼层之间就隔着x-2层。
我们再回过头来看一看，第一次扔鸡蛋的楼层在第x层，第1层到第x层间共x层；
第1次扔鸡蛋的楼层到第2次扔鸡蛋的楼层间共有x-1层(包含第2次扔鸡蛋的那一层)，
同理继续往下，我们可以得出，第2次扔鸡蛋的楼层到第3次扔鸡蛋的楼层间共有x-2层，
……最后把这些互不包含的区间数加起来，应该大于等于总共的楼层数量100，即

x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 >= 100

(x+1)*x/2 >= 100

得出答案是14。

即我先用第1个鸡蛋在以下序列表示的楼层数不断地向上测试，直到它摔破。再用第2个鸡蛋从上一个没摔破的序列数的下一层开始，向上测试，即可保证在最坏情况下也只需要测试14次，就能用2个鸡蛋找出从哪一层开始，往下扔鸡蛋，鸡蛋就会摔破。

14, 27, 39, 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99, 100

比如，我第1个鸡蛋是在第77层摔破的，那么我第2个鸡蛋就从第70层开始，向上测试，
第二个鸡蛋最多只需要测试7次(70,71,72,73,74,75,76)，加上第1个鸡蛋测试的
7次(14,27,39,50,60,69,77)，最坏情况只需要测试14次即可得出答案。

这个问题还有一个泛化的版本，即d层楼，e个鸡蛋，然后设计方案找出N，使最坏情况下测试的次数最少。维基上给出了DP的解法，感兴趣的话也可以看看以下链接：在第12章有比较详细的介绍。

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