「BZOJ2721」「LuoguP1445」 [Violet]樱花（数论

题目背景

我很愤怒

题目描述

求方程 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{N!}$ 的正整数解的组数，其中$N≤10^6$。

解的组数，应模$1e9+7$。

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1439

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102426508

题解

看到原题面的我也很愤怒。

显然是道数论题，所以我们要去分析它的性质。

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}$

$\frac{x+y}{x*y}=\frac{1}{n!}$

$xy-(x+y)*(n!)=0$

$(n!)^2+xy-(x+y)*n!=(n!)^2$

$(x-n!)*(y-n!)=(n!)^2$

设$t=(n!)$

$(x-t)*(y-t)=t^2$

∵$x,y$是正整数，∴$x-t>0$且$y-t>0$

（若要小于0，则$(x-t)$和$(y-t)$中至少要有一个小于$-t$，也就是$x<0$或$y<0$，与题设不符

设$A=(x-t)$，$B=(y-t)$

则有$A*B=t^2=(n!)^2$

所以$A$的方案数就是$(n!)^2$的因子数，也就是一些质因子乘起来的结果。

所以把$(n!)^2$分解质因数，设为$(n!)^2={a_1}^{p_1}*{a_2}^{p_2}...*{a_m}^{p_m}$

则答案为$(p_1+1)*(p_2+1)*...*(p_m+1)$。

  qwerta
 P1445 [Violet]樱花 Accepted 

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 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 bool sf[];
 int p[];
 int main()
 {
     int n;
     scanf("%d",&n);
     int tos=;
     for(int i=;i<=n;++i)
     if(!sf[i])
     {
         p[++tos]=;//因为是(n!)的平方，所以次数+=2
         for(int j=;i*j<=n;++j)
         {
             int x=i*j;
             sf[x]=;
             while(x%i==)
             {
                 p[tos]+=;
                 x/=i;
             }
         }
     }
     /*
     for(int i=2;i<=n;++i)
     {
         int x=i;
         for(int j=1;j<=tos&&x>1;++j)
         {
             while(x%st[j]==0)
             {
                 p[j]+=2;
                 x/=st[j];
             }
         }
     }
     */注释掉的是暴力分解2~n的质因数，亲测T上天
     long long ans=,mod=1e9+;
     for(int i=;i<=tos;++i)
     ans=(ans*(p[i]+))%mod;//统计答案
     cout<<ans;
     return ;
 }