【NOIP2017】宝藏（状态压缩，动态规划）

【NOIP2017】宝藏（状态压缩，动态规划）

题面

洛谷

题目描述

参与考古挖掘的小明得到了一份藏宝图，藏宝图上标出了 n 个深埋在地下的宝藏屋， 也给出了这 n 个宝藏屋之间可供开发的 m 条道路和它们的长度。

小明决心亲自前往挖掘所有宝藏屋中的宝藏。但是，每个宝藏屋距离地面都很远， 也就是说，从地面打通一条到某个宝藏屋的道路是很困难的，而开发宝藏屋之间的道路 则相对容易很多。

小明的决心感动了考古挖掘的赞助商，赞助商决定免费赞助他打通一条从地面到某 个宝藏屋的通道，通往哪个宝藏屋则由小明来决定。

在此基础上，小明还需要考虑如何开凿宝藏屋之间的道路。已经开凿出的道路可以 任意通行不消耗代价。每开凿出一条新道路，小明就会与考古队一起挖掘出由该条道路 所能到达的宝藏屋的宝藏。另外，小明不想开发无用道路，即两个已经被挖掘过的宝藏 屋之间的道路无需再开发。

新开发一条道路的代价是：L*K

L代表这条道路的长度，K代表从赞助商帮你打通的宝藏屋到这条道路起点的宝藏屋所经过的 宝藏屋的数量（包括赞助商帮你打通的宝藏屋和这条道路起点的宝藏屋） 。

请你编写程序为小明选定由赞助商打通的宝藏屋和之后开凿的道路，使得工程总代 价最小，并输出这个最小值。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个用空格分离的正整数 n 和 m，代表宝藏屋的个数和道路数。

接下来 m 行，每行三个用空格分离的正整数，分别是由一条道路连接的两个宝藏 屋的编号（编号为 1~n），和这条道路的长度 v。

输出格式：

输出共一行，一个正整数，表示最小的总代价。

题解

去年的题目我现在才来改。我是真的弱。。。

感觉去年考场上想的其实已经是我现在这个方法了，只是当时对于位运算的一些操作还是不熟悉，导致了巨大的常数，导致自己\(GG\)。当然，考场上也没有处理\(INF\)的问题导致炸掉了。。。

回归正题。

考虑状态\(f[S]\)表示当前已经连接了状态\(S\)的宝藏

但是我们的转移和当前的层数有关，

因此，加上一维\(f[i][S]\)表示当前已经有\(i\)层，状态是\(S\)的最小代价

枚举\(i,S\)，枚举\(S\)的补集，考虑哪一些放在当前这一层就行了。

时间复杂度，大概是\(O(n3^n)\)，我不确定诶。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define INF (1000000000)
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int g[15][15],n,m;
int f[15][1<<12],V[15];
int p[15],lg[1<<15];
int main()
{
	n=read();m=read();
	memset(g,63,sizeof(g));
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u=read()-1,v=read()-1,w=read();
		g[u][v]=g[v][u]=min(g[u][v],w);
	}
	for(int i=0;i<n;++i)lg[1<<i]=i;
	memset(f,63,sizeof(f));
	for(int i=0;i<n;++i)f[0][1<<i]=0;
	for(int i=0;i<n;++i)
		for(int j=0;j<(1<<n);++j)
		{
			if(f[i][j]>=INF)continue;
			int cnt=0;
			for(int k=0;k<n;++k)
				if(~j&(1<<k))
				{
					V[k]=INF;
					for(int a=j;a;a-=a&(-a))
						if(g[lg[a&(-a)]][k]<INF)
							V[k]=min(V[k],g[lg[a&(-a)]][k]*(i+1));
					p[cnt++]=k;
				}
			for(int k=0;k<(1<<cnt);++k)
			{
				int tt=0,S=0;
				for(int a=0;a<cnt;++a)
					if(k&(1<<a))
					{
						if(V[p[a]]==INF||tt>=INF){tt=INF;break;}
						tt+=V[p[a]];S|=1<<p[a];
					}
				if(tt==INF)continue;
				f[i+1][S|j]=min(f[i+1][S|j],f[i][j]+tt);
			}
		}
	int ans=INF;
	for(int i=0;i<n;++i)ans=min(ans,f[i][(1<<n)-1]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}