【bzoj3576】[Hnoi2014]江南乐 博弈论+SG定理+数学

题目描述

两人进行 $T$ 轮游戏，给定参数 $F$ ，每轮给出 $N$ 堆石子，先手和后手轮流选择石子数大于等于 $F$ 的一堆，将其分成任意（大于1）堆，使得这些堆中石子数最多的和最少的相差不超过1（即尽量均分）。求先手和后手谁必胜。

输入

输入第一行包含两个正整数T和F，分别表示游戏组数与给定的数。
接下来T行，每行第一个数N表示该组游戏初始状态下有多少堆石子。之后N个正整数，表示这N堆石子分别有多少个。

输出

输出一行，包含T个用空格隔开的0或1的数，其中0代表此时小A（后手）会胜利，而1代表小A的对手（先手）会胜利。

样例输入

4 3 
1 1 
1 2 
1 3 
1 5

样例输出

0 0 1 1

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题解

博弈论+SG定理+数学

显然游戏为多状态组合游戏，考虑使用SG定理求解。

SG定理：定义每种局面的SG函数值为该局面所有子局面SG函数值的mex，多状态组合游戏的SG值为每个状态SG值的异或。SG值为0时先手必败，否则先手必胜。

设 $f[i]$ 表示一堆 $i$ 个石子的SG函数值，当 $i<f$ 时 $f[i]=0$ 。枚举分成的堆数 $j$ ，根据定义有 $f[i]=\text{mex}_{j=2}^{i}f[\frac ij]\text{^}f[\frac ij]\text{^}...\text{^}f[\frac ij]\text{^}f[\frac ij+1]\text{^}f[\frac ij+1]\text{^}...\text{^}f[\frac ij+1]$ 。
其中 $\text{^}$ 表示异或，$f[\frac ij]$ 有 $j-i\%j$ 个，$f[\frac ij+1]$ 有 $i\%j$ 个，$\%$ 表示模。

这里出现了 $\frac ij$ ，可以使用数学下底分块的方法枚举商，求出 $\frac ij$ 相等的一段区间。

由于 $x\text{^}x=0$ ，因此只需要考虑 $j-i\%j$ 和 $i\%j$ 的奇偶性即可。

又因为 $i\%j=i-j·\frac ij$ ，因此当 $\frac ij$ 为定值时，相同奇偶性的 $j$ 对应的答案相同。

具体来讲 ，$\text{mex}$ 后面的部分当 $j$ 为偶数时：$i$ 为奇数时为 $f[\frac ij]\text{^}f[\frac ij+1]$ ，否则为 $0$ ；当 $j$ 为奇数时：$i-j$ 为奇数为 $f[\frac ij+1]$ ，否则为 $f[\frac ij]$ 。

之后暴力求 $\text{mex}$ 即可（复杂度是对的）。

最后对于询问，将每堆的SG值异或即可得到最终的SG值。

时间复杂度 $O(n\sqrt n)$ 。

bzoj上比较卡常，需要使用时间戳优化来记录每个SG是否作为子状态出现。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int f[100010] , v[100010];
inline void calc(int n , int c)
{
    int i , t , last;
    for(i = 2 ; i <= n ; i = last + 1)
    {
        t = n / i , last = n / t;
        if(last / 2 > (i - 1) / 2)
        {
            if(n & 1) v[f[t] ^ f[t + 1]] = c;
            else v[0] = c;
        }
        if((last + 1) / 2 > i / 2)
        {
            if((n - t) & 1) v[f[t + 1]] = c;
            else v[f[t]] = c;
        }
    }
}
int main()
{
    int T , c , i , n , x , val;
    scanf("%d%d" , &T , &c);
    for(i = c ; i < 100000 ; i ++ )
    {
        calc(i , i);
        while(v[f[i]] == i) f[i] ++ ;
    }
    while(T -- )
    {
        scanf("%d" , &n) , val = 0;
        for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &x) , val ^= f[x];
        printf("%d" , (bool)val);
        if(T) printf(" ");
    }
    return 0;
}