P3193 [HNOI2008] GT考试

题链：洛谷题库

题目大意：

求有多少个长度为$n$的数字串的子串中不包含给出的长度为$m$位的串，范围 $n <= 1e9$，$ m <= 20$。

思路：

首先考虑DP，令$zl[i][j]$为原串匹配到第$i$位，短串最多可以匹配到第$j$位的方案数。

那么显然答案为:

\[\sum_{i=0}^{m-1}zl[n][i]
\]

状态转移方程为：

\[zl[i][j]=\sum_{k=0}^{9}zl[i-1][p]
\]

其中的$p$不一定是$0$或者$j-1$，因为加入字符$k$后，会有三种情况产生：

与原串中的下一个字符匹配；
失配，无法与任何字符相匹配；
重新与原串的另一个前缀匹配。

那么上面的式子就无法支持我们完成之后的操作了，所以我们换一种写法。

令$dh[k][j]$为一个匹配了长度为$k$的串，有多少种增加数字的方法，使得与原串匹配的长度变成$j$。

状态转移方程为：

\[zl[i][j]=\sum_{k=0}^{m-1}zl[i][k] \times dh[k][j]
\]

由于我们知道原串，所以整个$dh$数组是固定的，我们可以预处理出这个数组。方法是用$kmp$求出$next$数组后，枚举匹配长度$k$和字符$ch$，暴力计算出能匹配到前缀的长度。

那么，由于这道题是矩阵乘法专题里的$dh$数组恒不变，显然能想到用矩阵乘法的相关知识来解决。

因为我们最后只需要第$n$行矩阵，所以我们把每一行$zl[i][j]$抽象成一行，$m-1$列的矩阵$hdl[i]$，可推导出$hdl[i]=hdl[i-1]*yns$，那么，$hdl[n]=hdl[0]*yns^n$。

用矩阵快速幂求出$yns^n$，再用矩阵乘法使其与$hdl$相乘，即可得出最终矩阵，再把答案一加一模就ok啦。

code:

#include<bits/stdc++.h>

#define fo(x,y,z) for(int (x)=(y);(x)<=(z);(x)++)

#define fu(x,y,z) for(int (x)=(y);(x)>=(z);(x)--)

typedef long long ll;

namespace Aventurine

{

	inline int qr()

	{

		char ch=getchar();int x=0,f=1;

		for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;

		for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);

		return x*f;

	}

	inline void qw(int x)

	{

		if(!x)

			return;

		qw(x/10);

		putchar(x%10+'0');

	}

	inline void qkg(int x)

	{

		if(x==0)

			putchar('0');

		else

			qw(x);

		putchar(' ');

	}

	inline void qhh(int x)

	{

		if(x==0)

			putchar('0');

		else

			qw(x);

		putchar('\n');

	}

}

#define qr qr()

using namespace std;

using namespace Aventurine;

const int Ratio=0;

const int N=55;

const int maxi=INT_MAX;

int n,len,mod,ans;

int kmp[N];

char s[N];

struct rmm

{

	int a[N][N];

	rmm()

	{//一定要初始化！一定要初始化！一定要初始化！

		memset(a,0,sizeof a);

	}//在结构体中定义的数组需要初始化！

}yns,hdl;

rmm operator*(rmm a,rmm b)//矩阵乘

{

	rmm c;

	fo(i,0,len-1)

		fo(j,0,len-1)

			fo(k,0,len-1)

				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod+mod)%mod;

	return c;

}

rmm operator^(rmm a,int t)//矩阵快速幂

{

	rmm b;

	fo(i,0,len-1)

		b.a[i][i]=1;

	while(t)

	{

		if(t&1)

			b=b*a;

		a=a*a;

		t>>=1;

	}

	return b;

}

namespace Wisadel

{

	void Wprekmp()//kmp初始化

	{

		int j=0;

		fo(i,2,len)

		{

			while(j&&s[j+1]!=s[i])

				j=kmp[j];

			if(s[j+1]==s[i])

				j++;

			kmp[i]=j;

		}

	}

	void Wwork()

	{

		fo(i,0,len-1)

			for(char ch='0';ch<='9';ch++)

			{//枚举添加的字符

				int j=i;

				while(j&&s[j+1]!=ch)

					j=kmp[j];

				if(s[j+1]==ch)

					j++;

				yns.a[i][j]=(yns.a[i][j]+1)%mod;

			}

		hdl.a[0][0]=1;//即为hdl[0]

		yns=yns^n;

		hdl=hdl*yns;

		fo(i,0,len-1)

			ans=(ans+hdl.a[0][i])%mod;

	}

	short main()

	{

		n=qr,len=qr,mod=qr;

		scanf("%s",s+1);

		Wprekmp();

		Wwork();

		printf("%d\n",ans);

		return Ratio;

	}

}

int main(){return Wisadel::main();}

完结撒花

我放两张

“维什戴尔”，就把名字签这里，对吧？殿下告诉我，这个名字的意思是“许愿一个家”，但我从不许愿。啊？字太丑？还轮不到你来指指点点。

谁有W的好图啊aa球球了QwQ