AT Educational DP Contest

https://atcoder.jp/contests/dp

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J - Sushi

设 \(f[i,j,k]\) 表示有 \(1/2/3\) 个寿司的盘子有 \(i/j/k\) 个

考虑随机到哪种盘子列出方程即可解出 \(f[i,j,k]\) 的递推式（\(k,j,i\) 递减）

或者注意到期望 \(\frac{n}{i+j+k}\) 次可以随机到非空盘子，再考虑是哪种

O - Matching

设 \(f[s]\) 表示前 \(i\) 个左部点匹配的右部点状态为 \(s\) 的方案数。时间复杂度 \(O(n^{2}2^{n})\)

注意到匹配的右部点状态为 \(s\) 时下一个被匹配的左部点一定是 \(\text{popcount}(s)\)。时间复杂度 \(O(n2^{n})\)

V - Subtree

（以 \(1\) 为根）设 \(fa[u]\) 为 \(u\) 的父亲，\(f[u]\) 表示 \(u\) 为 \(1\)，子树 \(u\) 的方案数。\(f[u]=\prod(f[v]+1)\)

换根。问题是 \(f[v]+1\) 不一定有逆

（以 \(u\) 为根）设 \(ans[u]\) 为 \(u\) 为 \(1\) 的方案数，\(g[u]\) 为 \(u\) 为 \(1\)，子树 \(fa[u]\) 的方案数

\[g[v]=1+g[u]\prod_{w\ne v}(f[w]+1)
\]

\[ans[v]=f[v]\cdot(1+g[u]\prod_{w\ne v}(f[w]+1))
\]

其中 \(\prod\) 通过维护前后缀积计算

W - Intervals

设 \(f[i,j]\) 表示前缀 \(i\) 中最后一个 \(1\) 位于 \(j\) 的最大收益，在 \(i=r\) 时计算 \((l,r,a)\) 的贡献，需要对第二维进行区间 \(+\)，前缀 \(\min\)。线段树

X - Tower

真不会。也算是套路题，忘光了

要对序列而不是通常的集合做背包，所以需要考虑排序方式

考虑答案序列中相邻的元素 \(i,i+1\)，需要满足 \(pre\le s_i,pre+w_i\le s_{i+1}\)，交换后需要满足 \(pre\le s_{i+1},pre+w_{i+1}\le s_i\)，后者能推出前者 \(\iff w_i-w_{i+1}\le s_{i+1}-s_i\)，按 \(w_i+s_i\) 升序排序

Y - Grid 2

设值域为 \(X\)。从 \((0,0)\) 走到 \((x,y)\) 的方案数为 \(f(x,y)\)

考虑算补集。如果没有墙，那么 \(f(x,y)={x+y\choose x}\)。枚举非法路径上的第一个墙 \((x_0,y_0)\)，方案数为 \(f(x_0,y_0)\times{x-x_0+y-y_0\choose x-x_0}\)

按二元组 \((x,y)\) 排序后 DP 即可

注意组合数要预处理到 \(2X\)。时间复杂度 \(O(X+n^2)\)

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A - Frog 1 B - Frog 2

设 \(f[i]\) 表示跳到 \(i\) 的最小代价

C - Vacation

设 \(f/g/h[i]\) 表示第 \(i\) 天做了 \(a/b/c\) 的最大收益

D - Knapsack 1

01 背包

E - Knapsack 2

背包反转体积和价值

F - LCS

LCS 输出方案

G - Longest Path

DAG 最长路

H - Grid 1

设 \(f[i,j]\) 为走到 \((i,j)\) 的方案数

I - Coins

设 \(f[i,j]\) 表示前 \(i\) 个硬币有 \(j\) 个是正面的概率

K - Stones

设 \(f[i]\) 表示剩 \(i\) 个石子的时候先手是否必胜

L - Deque

设 \(f[l,r]\) 表示在区间 \([l,r]\) 博弈的先后手的分差

M - Candies

设 \(f[j]\) 表示前 \(i\) 个人分 \(j\) 个糖的方案数

N - Slimes

设 \(f[l,r]\) 表示把区间 \([l,r]\) 合并成一个的最小代价

P - Independent Set

设 \(f/g[u]\) 表示点 \(u\) 为 \(0/1\) 时子树 \(u\) 的方案数

Q - Flowers

带权 LIS

R - Walk

图上定长路径统计

S - Digit Sum

状态记录当前数位和 \(\bmod D\) 的值

T - Permutation

设 \(f[j]\) 表示前 \(i\) 个数中第 \(i\) 个数为第 \(j\) 大的方案数

U - Grouping

设 \(f[s]\) 表示集合 \(s\) 的最优解。枚举子集