[BZOJ2705][SDOI2012]Longge的问题 数学

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2705

首先分析得题目所求$gcd(i,N)$的取值只可能是$N$的因子，则有$$Ans=\sum_{d|N}d\sum_{i=1}^N[gcd(i,N)==d]$$

$$Ans=\sum_{d|N}d\sum_{i=1}^{\frac{N}{d}}[gcd(i,\frac{N}{d})==1]$$

$$Ans=\sum_{d|N}dφ(\frac{N}{d})$$

我们可以枚举$N$的因子，然后用$O(\sqrt{N})$的时间求φ。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 ll N;
 ll Phi(ll x){
     int M=floor(sqrt(x));
     ll ret=x;
     for(int i=;i<=M;i++){
         if(x%i==){
             ret=ret/i*(i-);
             while(x%i==) x/=i;
         }
     }
     if(x>) ret=ret/x*(x-);
     return ret;
 }
 int main(){
     scanf("%lld",&N);
     int M=floor(sqrt(N));
     ll Ans=;
     for(int i=;i<=M;i++){
         if(N%i==){
             Ans+=Phi(N/i)*i;
             if((ll)i*i<N) Ans+=Phi(i)*(N/i);
         }
     }
     printf("%lld\n",Ans);
     return ;
 }