牛顿迭代法解指数方程（aX + e^x解 = b )

高中好友突然问我一道这样的问题，似乎是因为他们专业要做一个计算器，其中的一道习题是要求计算器实现这样的功能。

整理一下要求：解aX + e^X = b 方程。解方程精度要求0.01，给定方程只有一解，a>0,b>0,0<X<20。

当被第一次问及这样一个问题的时候，我脑海里反映的第一个方法就是「牛顿迭代法（NewtonMethod」。然而自己算法功底太差了，从来没有真正去了解过牛顿迭代法，反正早晚都是要学的，正好便借着这个机会学习了一个。

我一直认为牛顿迭代法的效率应该是几个近似求解方程的最快方法，于是查了一下百度百科后进行了实现。

实现代码如下：

 #include<stdio.h>
 #include<math.h>
 #define MAX 20
 #define MIN 0
 #define MID 10
 #define eps 1e-2
 #define fx a*x+exp(x)-b
 #define fdx a + exp(x)
 double a,b,x;
 double binary() ; // 二分查找
 double NewtonMethod() ; // 牛顿迭代法
 int main()
 {
 scanf("%lf%lf",&a,&b);
 printf("%.2lf\n",binary()) ;
 printf("%.2lf\n",NewtonMethod()) ;
 return  ;
  } 

 double binary()   // 二分查找
 {
   x = MID ;
 double x1 =MIN , x2 = MAX ;
 while( fabs(fx) > eps)
  {
   if( fx < )
    x1 = x ;
   if( fx > )
    x2 = x ;
   x = ( x1 + x2) /  ;
  }
 return x ;
 }

 double NewtonMethod() // 牛顿迭代
 {
   x =   ;
 while()
  {
 if( fabs(fx) > eps )
   {
         x = x - (fx) / (fdx);
      }
 else return x ;
  }
 }

网上普遍都是牛顿迭代法求解一元二次方程或者平方根，我于是照猫画虎根据牛顿迭代法的核心x1=x0 - f(x) / f'(x)  照猫画虎学习了一个。关于证明还不是太会，自己手画了一下发现这样的方法近似非常快，我记得曾今刚看到过资料说两次迭代好像eps就可以小于多少……

自己代码功底还是太差了，二分也写跪多次，写出了什么if (fx < 0 ) x = ( x + MAX ) / 2这样现在看来有点羞耻想笑的代码。最后遇到最大的一个问题是在牛顿迭代法 fx / fdx 因为fx和fdx是用宏定义的，直接展开后导致运算优先级出现了问题然后各种程序跑崩……所以这里宏定义以后要考虑加括号，要认真考虑优先级问题，不然出了问题感觉挺难发现的。

以前前辈们总说代码要多写多练多手敲，就算把书上代码照抄到电脑上都是很好的。一直不能理解，觉得这样做没什么意义。现在深刻感觉到，代码看再多遍不如自己手写一遍，算法理论知道再清楚，不多手写几次就不知道坑在哪里，就实现不出来。以后一定多写代码。

不过最后有一个问题我一直不能理解：

为了比较其与二分的效率，我写了一个随机器准备对拍一下：

 #include<iostream>
 #include<ctime>
 #include<cstdlib>
 using namespace std ;
 int main()
 {
 srand((int) time() ) ;
 freopen("a.out","w"
  ,stdout) ;
 for( int x =  ; x <=   ; x++)
   cout << rand() %   +  <<' ' << rand() %   + <<endl ;
 return  ;
 }

产生了一万组 1 - 20 的数据文件，然后重定向到文件分别跑了一下数据，利用<ctime>下的 (double ) clock() / CLOCK_PER_SEC 来计算时间。

测试结果如下：

一万组数据 牛顿迭代反而慢于二分，不知道是因为我的数据产生中没有考虑过有方程有没有解的情况，还是程序写的不好或者输入输出有问题……？

不太会分析两个这样的算法的时间复杂度，真诚询问。二分法我感觉应该是O(nlgn) ?不会证明牛顿迭代法……就更难分析牛顿迭代法了……理论上我感觉牛顿迭代法的性能应该优于二分法啊。不知道问题出在哪里了……