详解RMQ-ST算法 ST模板

RMQ问题是求解区间最值的问题。

这里分析的是ST算法，它可以对所有要处理的数据做到O(nlogn)的预处理，对每个区间查询做到O(1)查询

ST算法本质是一个DP的过程

这里通过举一个求最大值实例来理解ST算法：

我们有这样一串数字

数值：35 13 65 99 88 75 64 51 42 55 66 83 12 44 65 12

位置：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

首先我们定义一个dp表达式：st[i][j]表示从i位置开始的2^j个数中的最大值；

具体解释：st[1][0]就是从第一个数字开始的一个数里的最大值，也就是第一个数本身，即st[1][0]=35；

　　 st[2][2]就是从第二个数字开始的四个数里的最大值，也就是13,65,99,88里面的最大值，即st[2][2]=99；

　　　　　以此类推

　　然后我们来看怎么用dp的思想来解决这个问题

　　回到刚刚的实例，我们由我们所定义的st式可以得知st[5][3]是[88,75,64,51,42,55,66,83]中的最大值。

　　现在我们来试着用dp的思想，也就是将整体化为部分求解的思想。

　　要求前面st[5][3]所代表区间的最大值，也就是求[88,75,64,51]和[42,55,66,83]两个区间的最大值中的较大值，即st[5][2]和st[9][2]

而这样的划分是一个二分划分，根据这种思想我们可以类推出，求i至其后2^j个数的最大值，即把2^j分成前后两个2^(j-1)，分别取最大值，再通过比较获得此状态最大值。

到此我们可以得出我们的dp表达式：st[i][j] = max( st[i][j-1],st[i+2^(j-1)][j-1] )

通过这种方法我们可以求出一段段区间的最大值

求ST表代码

void cal_st( int n, int a[] ) {  //n为区间元素个数，a数组存的是区间里的元素

    for( int i = 1; i <= n; i ++ ) {

        st[i][0] = a[i];

    }

	for( int j = 1; j <= log2(n); j ++ ) {

        for( int i = 1; i <= n-(1<<j)+1; i ++ ) {

            st[i][j] = max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);

        }

	}

}

接下来让我们回到RMQ问题：

　　我们可以知道，任意的i至j之间的j-i+1个连续的值，一定可以分为两个2^n个数的两个区间

　　比如求3到11之间的最大值；

　　因为3到11之间有9个元素，最大可以成8个元素大小的区间；

　　所以我们可以将其分为[3,10]和[4,11]两个区间；（分成的两个区间一个是从开头取八个，一个是从最后往前取八个）

　　然后通过求这两个区间最大值中的较大值得到3到11之间的最大值

抽象成一个广义数学问题：

　　求[i,j]区间最大值；

　　num = j-i+1; p = 2^((int)(log2(num)));

　　rmq(i,j) = max( st[i][p], st[i-2^p+1][p] )

　　num：[i,j]区间元素个数，p：[i,j]区间可以连续分成的最大2^n区间的大小

　　rmq(i,j)：查询[i,j]区间最大值

rmq查询代码：

int rmq( int le, int ri ) {  //le为查询区间开始位置，ri为查询区间结束位置

    int p = log2(ri-le+1);

    return max(st[le][p],st[ri-(1<<p)+1][p]);

}

参考博客：https://blog.csdn.net/z287438743z/article/details/8132806

例题：洛谷P3865

题目背景

这是一道ST表经典题——静态区间最大值

请注意最大数据时限只有0.8s，数据强度不低，请务必保证你的每次查询复杂度为 O(1)

题目描述

给定一个长度为 N 的数列，和 M 次询问，求出每一次询问的区间内数字的最大值。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数 N, M ，分别表示数列的长度和询问的个数。

第二行包含 N个整数（记为 ai ），依次表示数列的第 i 项。

接下来 M 行，每行包含两个整数 li,ri ，表示查询的区间为[li,ri]

输出格式：

输出包含 M 行，每行一个整数，依次表示每一次询问的结果。

输入输出样例

输入样例

8 8

9 3 1 7 5 6 0 8

1 6

1 5

2 7

2 6

1 8

4 8

3 7

1 8

输出样例

说明

对于30%的数据，满足：1≤N,M≤10

对于70%的数据，满足： 1≤N,M≤105

对于100%的数据，满足： 1≤N≤105,1≤M≤106,ai∈[0,10^9],1≤li≤ri≤N

分析：一个st表的模板题

　　st[i][j]表示以第i个数为首的一共2^j个数的最大值

　　ai表示原数列

可以得到:

if( j == 1 ) {

    st[i][j] = a[i]

} else {

    st[i][j] = max( st[i][j-1], st[i+(1<<(j-1))][j-1] );

}

AC代码：

#include <map>

#include <set>

#include <stack>

#include <cmath>

#include <queue>

#include <cstdio>

#include <vector>

#include <string>

#include <bitset>

#include <cstring>

#include <iomanip>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#define ls (r<<1)

#define rs (r<<1|1)

#define debug(a) cout << #a << " " << a << endl

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll maxn = 1e5+10;

const ll mod = 998244353;

const double pi = acos(-1.0);

const double eps = 1e-8;

ll st[maxn][20];  //ll表示long long,个人习惯整数定义成long long

void cal_st( ll n, ll a[] ) {

    for( ll i = 1; i <= n; i ++ ) {

        st[i][0] = a[i];

    }

	for( ll j = 1; j <= log2(n); j ++ ) {

        for( ll i = 1; i <= n-(1<<j)+1; i ++ ) {

            st[i][j] = max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);

        }

	}

}

ll rmq( ll le, ll ri ) {

    ll p = log2(ri-le+1);

    return max(st[le][p],st[ri-(1<<p)+1][p]);

}

int main() {

    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);

    ll n, t, a[maxn];

	scanf("%lld%lld",&n,&t);

	for( ll i = 1; i <= n; i ++ ) {

        scanf("%lld",&a[i]);

	}

	cal_st(n,a);

	while( t -- ) {

        ll le, ri;

        scanf("%lld%lld",&le,&ri);

        printf("%lld\n",rmq(le,ri));

	}

	return 0;

}