\[\texttt{Preface}
\]

第二道 Ynoi 的题,纪念一下。

这可能是我唯一可以自己做的 Ynoi 题了。

\[\texttt{Description}
\]

维护一个长度为 \(n\) 的数列 \(a\),支持两种操作:

  • 1 l r v 将 \(a_l,a_{l+1},...,a_r\) 分别加上 \(v\)
  • 2 l r 询问 \(\sum\limits_{i=l}\limits^{r}\sin(a_i)\) 。

\[\texttt{Solution}
\]

  • 区间修改和区间查询使我们想到线段树。

  • 尝试在线段树上维护一个区间 \(\sin\) 和。

  • 我们发现,区间加的时候,原来的 \(\sin(a_i)\) 都变成了 \(\sin(a_i+v)\) ,不易直接维护。

  • 考虑这两个公式:

    \[\sin(a+v)=\sin a\cos v+\cos a\sin v
    \]

    \[\cos(a+v)=\cos a\cos v-\sin a \sin v
    \]

  • 显然区间加将区间 \([l,r]\) 的 \(\sin\) 和从 \(\sum\limits_{i=l}\limits^{r}\sin(a_i)\) 变成了 \(\sum\limits_{i=l}\limits^{r}\sin(a_i+v)\) ,进一步,有:

    \[\sum\limits_{i=l}\limits^{r}\sin a_i \cos v+ \cos a_i \sin v
    \]

\[\cos v \sum\limits_{i=l}\limits^{r}\sin a_i + \sin v\sum\limits_{i=l}\limits^{r}\cos a_i
\]

  • 于是我们可以再维护一个区间 \(\cos\) 和, 区间加对 \([l,r]\) 的 \(\cos\) 和的影响为:

\[\cos v \sum\limits_{i=l}\limits^{r} \cos a_i -\sin v\sum\limits_{i=l}\limits^{r} \sin a_i
\]

  • 套用上述公式更新区间 \(\sin\) 和以及区间 \(\cos\) 和即可,记得打好标记。

\[\texttt{Code}
\]

#include<cstdio>
#include<cmath> #define RI register int using namespace std; namespace IO
{
static char buf[1<<20],*fs,*ft;
inline char gc()
{
if(fs==ft)
{
ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin);
if(fs==ft)return EOF;
}
return *fs++;
}
#define gc() getchar()
inline int read()
{
int x=0,f=1;char s=gc();
while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-f;s=gc();}
while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=gc();}
return x*f;
}
}using IO::read; const int N=200100; int n,m; int a[N]; struct SegmentTree{
int l,r;
double sinv,cosv;
long long tag;
}t[N*4]; void upd(int p)
{
t[p].sinv=t[p*2].sinv+t[p*2+1].sinv;
t[p].cosv=t[p*2].cosv+t[p*2+1].cosv;
} void spread(int p)
{
if(t[p].tag)
{
double sina,cosa,sinx=sin(t[p].tag),cosx=cos(t[p].tag);
sina=t[p*2].sinv,cosa=t[p*2].cosv;
t[p*2].sinv=sina*cosx+cosa*sinx;
t[p*2].cosv=cosa*cosx-sina*sinx;
sina=t[p*2+1].sinv,cosa=t[p*2+1].cosv;
t[p*2+1].sinv=sina*cosx+cosa*sinx;
t[p*2+1].cosv=cosa*cosx-sina*sinx;
t[p*2].tag+=t[p].tag;
t[p*2+1].tag+=t[p].tag;
t[p].tag=0;
}
} void build(int p,int l,int r)
{
t[p].l=l,t[p].r=r;
if(l==r)
{
t[p].sinv=sin(a[l]),t[p].cosv=cos(a[l]);
return;
}
int mid=(l+r)/2;
build(p*2,l,mid);
build(p*2+1,mid+1,r);
upd(p);
} void change(int p,int l,int r,int val)
{
if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r)
{
double sina=t[p].sinv,cosa=t[p].cosv,sinx=sin(val),cosx=cos(val);
t[p].sinv=sina*cosx+cosa*sinx;
t[p].cosv=cosa*cosx-sina*sinx;
t[p].tag+=val;
return;
}
spread(p);
int mid=(t[p].l+t[p].r)/2;
if(l<=mid)
change(p*2,l,r,val);
if(mid<r)
change(p*2+1,l,r,val);
upd(p);
} double ask(int p,int l,int r)
{
if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r)return t[p].sinv;
spread(p);
int mid=(t[p].l+t[p].r)/2;
double val=0;
if(l<=mid)
val+=ask(p*2,l,r);
if(mid<r)
val+=ask(p*2+1,l,r);
return val;
} int main()
{
n=read(); for(RI i=1;i<=n;i++)
a[i]=read(); build(1,1,n); m=read(); while(m--)
{
int opt=read(),l=read(),r=read(); switch(opt)
{
case 1:{ double val; scanf("%lf",&val);
change(1,l,r,val); break;
} case 2:{ printf("%.1lf\n",ask(1,l,r)); break;
}
}
} return 0;
}

\[\texttt{Thanks} \ \texttt{for} \ \texttt{watching}
\]

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