题解【[Ynoi2012]NOIP2015洋溢着希望】

\[\texttt{Preface}
\]

第二道 Ynoi 的题，纪念一下。

这可能是我唯一可以自己做的 Ynoi 题了。

\[\texttt{Description}
\]

维护一个长度为 \(n\) 的数列 \(a\)，支持两种操作：

• 1 l r v 将 \(a_l,a_{l+1},...,a_r\) 分别加上 \(v\)
• 2 l r 询问 \(\sum\limits_{i=l}\limits^{r}\sin(a_i)\) 。

\[\texttt{Solution}
\]

• 区间修改和区间查询使我们想到线段树。

• 尝试在线段树上维护一个区间 \(\sin\) 和。

• 我们发现，区间加的时候，原来的 \(\sin(a_i)\) 都变成了 \(\sin(a_i+v)\) ，不易直接维护。

• 考虑这两个公式：

  \[\sin(a+v)=\sin a\cos v+\cos a\sin v
  \]
  \[\cos(a+v)=\cos a\cos v-\sin a \sin v
  \]

• 显然区间加将区间 \([l,r]\) 的 \(\sin\) 和从 \(\sum\limits_{i=l}\limits^{r}\sin(a_i)\) 变成了 \(\sum\limits_{i=l}\limits^{r}\sin(a_i+v)\) ，进一步，有：

  \[\sum\limits_{i=l}\limits^{r}\sin a_i \cos v+ \cos a_i \sin v
  \]

\[\cos v \sum\limits_{i=l}\limits^{r}\sin a_i + \sin v\sum\limits_{i=l}\limits^{r}\cos a_i
\]

• 于是我们可以再维护一个区间 \(\cos\) 和， 区间加对 \([l,r]\) 的 \(\cos\) 和的影响为：

\[\cos v \sum\limits_{i=l}\limits^{r} \cos a_i -\sin v\sum\limits_{i=l}\limits^{r} \sin a_i
\]

• 套用上述公式更新区间 \(\sin\) 和以及区间 \(\cos\) 和即可，记得打好标记。

\[\texttt{Code}
\]

#include<cstdio>
#include<cmath>

#define RI register int

using namespace std;

namespace IO
{
    static char buf[1<<20],*fs,*ft;
    inline char gc()
    {
        if(fs==ft)
        {
			ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin);
			if(fs==ft)return EOF;
        }
        return *fs++;
    }
    #define gc() getchar()
	inline int read()
	{
		int x=0,f=1;char s=gc();
		while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-f;s=gc();}
		while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=gc();}
		return x*f;
	}
}using IO::read;

const int N=200100;

int n,m;

int a[N];

struct SegmentTree{
	int l,r;
	double sinv,cosv;
	long long tag;
}t[N*4];

void upd(int p)
{
	t[p].sinv=t[p*2].sinv+t[p*2+1].sinv;
	t[p].cosv=t[p*2].cosv+t[p*2+1].cosv;
}

void spread(int p)
{
	if(t[p].tag)
	{
		double sina,cosa,sinx=sin(t[p].tag),cosx=cos(t[p].tag);
		sina=t[p*2].sinv,cosa=t[p*2].cosv;
		t[p*2].sinv=sina*cosx+cosa*sinx;
		t[p*2].cosv=cosa*cosx-sina*sinx;
		sina=t[p*2+1].sinv,cosa=t[p*2+1].cosv;
		t[p*2+1].sinv=sina*cosx+cosa*sinx;
		t[p*2+1].cosv=cosa*cosx-sina*sinx;
		t[p*2].tag+=t[p].tag;
		t[p*2+1].tag+=t[p].tag;
		t[p].tag=0;
	}
}

void build(int p,int l,int r)
{
	t[p].l=l,t[p].r=r;
	if(l==r)
	{
		t[p].sinv=sin(a[l]),t[p].cosv=cos(a[l]);
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	build(p*2,l,mid);
	build(p*2+1,mid+1,r);
	upd(p);
}

void change(int p,int l,int r,int val)
{
	if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r)
	{
		double sina=t[p].sinv,cosa=t[p].cosv,sinx=sin(val),cosx=cos(val);
		t[p].sinv=sina*cosx+cosa*sinx;
		t[p].cosv=cosa*cosx-sina*sinx;
		t[p].tag+=val;
		return;
	}
	spread(p);
	int mid=(t[p].l+t[p].r)/2;
	if(l<=mid)
		change(p*2,l,r,val);
	if(mid<r)
		change(p*2+1,l,r,val);
	upd(p);
}

double ask(int p,int l,int r)
{
	if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r)return t[p].sinv;
	spread(p);
	int mid=(t[p].l+t[p].r)/2;
	double val=0;
	if(l<=mid)
		val+=ask(p*2,l,r);
	if(mid<r)
		val+=ask(p*2+1,l,r);
	return val;
}

int main()
{
	n=read();

	for(RI i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read();

	build(1,1,n);

	m=read();

	while(m--)
	{
		int opt=read(),l=read(),r=read();

		switch(opt)
		{
			case 1:{

				double val; scanf("%lf",&val);
				change(1,l,r,val);

				break;
			}

			case 2:{

				printf("%.1lf\n",ask(1,l,r));

				break;
			}
		}
	}

	return 0;
}

\[\texttt{Thanks} \ \texttt{for} \ \texttt{watching}
\]