P1545 [USACO04DEC] Dividing the Path G 题解

最近开始快刷蓝紫黑了，做完会写题解交上来。

题意

一条长为 \(L(1 \le L \le 10^6 , 2 | L)\) 的线段上，给出 \(N(1 \le N \le 10^3)\) 个可能相交的子段 \([S_i,E_i]\)，现要求用若干个长度在 \([2a,2b]\) 中且为偶数的小线段覆盖整个大线段。

要求：

整个大线段都要被覆盖。
用来覆盖的小线段不相交。
每个子段能且仅能被唯一一个小线段覆盖。
小线段的范围不能超出大线段。

求出最少用来覆盖的小线段的个数。

分析

这道题暴力 \(O(L^2)\) 是好写的，设 \(dp_i\) 表示覆盖 \([0,i]\) 所需的小线段个数（显然 \(i\) 必须为某个子段的端点），答案明显为 \(dp_L\) ，边界也是显而易见的：\(dp_0=0\) 。

转移有如下式子：

\[dp_i=\min_{j=i-2b,2|j}^{i-2a}(dp_j+1)
\]

然后交了一发就过了。

虽然数据较水，但我们仍需要考虑正解。

转移方程中，取最小值里的 \(+1\) 可以提出来，所以我们实际上是在求 \(\min dp_j\) 。

我们其实会很容易地发现这其实就是在一段区间里取最小值。

每次转移完当前点的值，我们都会把它当作下次转移时的区间里的一部分。

提炼一下：区间取 \(\min\)，单点修改。

线段树可以很方便的处理掉，复杂度 \(O(L\log L)\) 。

AC Code

#include<bits/stdc++.h>

#define int long long

#define rep(I,A,B) for(int I=(A);I<=(B);++I)

#define per(I,A,B) for(int I=(A);I>=(B);--I)

#define el puts("")

#define Yuki return

#define daisuki 0

#define debug puts("SKIRK")

#define none 'N'

#define ed '\n'

#define pc putchar

using namespace std;

using pii=pair<int,int>;

//fastIO start

template<typename T>

void read(T &x){

  x=0;bool f=0;char c=getchar();

  for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=1;

  for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);

  if(f)x=-x;

}

template<typename T,typename ...Args>

void read(T &x,Args &...args){

  read(x),read(args...);

}

template<typename T>

void write(T x,char ch=' '){

  if(x<0)putchar('-'),x=-x;

  static short st[70],tp;

  do st[++tp]=x%10,x/=10;while(x);

  while(tp)putchar(st[tp--]|48);

  if(ch!=none)putchar(ch);

}

void writes(string str){

  rep(i,0,str.size()-1)putchar(str[i]);

}

void writec(char chs){

  putchar(chs);

}

//fastIO end

const int N=1e3+5;

const int L=1e6+5;

const int inf=0x3f3f3f3f;

struct edge{

  int s,e;

}p[N];

int n,l,a,b;

bool vis[L];

int dp[L];

struct node{

  int l,r,mn;

}tr[L<<2];

void build(int p,int l,int r){

  tr[p].l=l;

  tr[p].r=r;

  tr[p].mn=inf;

  if(l==r)return ;

  int mid=l+r>>1;

  build(p<<1,l,mid);

  build(p<<1|1,mid+1,r);

}

int query(int p,int L,int R){

  int l=tr[p].l;

  int r=tr[p].r;

  if(r<L||l>R)return inf;

  if(L<=l&&r<=R)return tr[p].mn;

  return min(query(p<<1,L,R),query(p<<1|1,L,R));

}

void modify(int p,int L,int v){

  int l=tr[p].l;

  int r=tr[p].r;

  if(r<L||l>L)return ;

  if(l==r)return tr[p].mn=v,void();

  modify(p<<1,L,v);

  modify(p<<1|1,L,v);

  tr[p].mn=min(tr[p<<1].mn,tr[p<<1|1].mn);

}

signed main(){

  read(n,l,a,b);

  rep(i,1,n){

    read(p[i].s,p[i].e);

    rep(j,p[i].s+1,p[i].e-1)vis[j]=1;

  }

  memset(dp,0x3f,sizeof(dp));

  dp[0]=0;

  build(1,0,l);

  modify(1,0,0);

  for(int i=2;i<=l;i+=2){

    if(vis[i])continue;

    dp[i]=query(1,max(i-2*b,0ll),i-2*a)+1;

    modify(1,i,dp[i]);

    // rep(j,a,b){      //暴力转移

    //   int k=i-j*2;

    //   if(k<0)continue;

    //   Min(dp[i],dp[k]+1);

    // }

  }

  if(dp[l]>=inf)dp[l]=-1;

  write(dp[l]);

  Yuki daisuki;//Yuki真的是太可爱了捏

}

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