SRM13 T3 花六游鸟小(结论题)
哇这题是真的喵,HR智商太高辣
这题的难点就是看了题解之后怎么证明题解里的结论...
结论①:深度大于logm的点肯定能达到最大值
证明:显然一个西瓜的属性里0数量一半1数量一半我们取到的1数量最少,所以我们最多logm个点就可以把所有属性取到1
结论②:未达到最大值的点相邻两个肯定价值不同
证明:易证,取反即可
结论③:有n个西瓜,记s[i]为拥有的属性i的集合,当s取遍所有可能的2^n种集合的时候达不到最大值
证明:显然所有的集合里必有一个全0的集合,我们至少需要把这个集合里的一个0变成1。把第一列的取反,让全0集合出现第一个1,但是必定存在有一个集合只有第一列是1,其他列是0的情况,那么又出现了一个全0集合,那么又需要把第二列取反,以此类推我们将会把所有列取反一次,但是所有的集合里必定有一个全1的集合,我们每一列都取反了一次之后,全1集合变成全0集合了,所以肯定取不到最大值。
我们(其实是HR)可以发现!对列取反的操作实际上是交换集合位置的操作!(ORZ HR!
因为我们有2^n个集合,所以必定不可能把全0集合消去,所以必定取不到最大值!
结论④:有n个西瓜,记s[i]为拥有的属性i的集合,当s[i]没有取遍所有可能的2^n种集合的时候肯定可以达到最大值
证明:借用我们证明结论③时所发现的,我们少了某一个集合,那么只要把全0集合交换成那个缺少的集合即可
可能有点抽象,所以我们具体分析一下。如果缺少的是全0集合,那么直接就可以取到最大值了。如果缺少的不是全0集合,我们就把缺少的集合为1的那几列取反,相当于将全0集合与缺少的集合交换,缺少的集合必定有1,而且不存在除了缺少的集合之外存在一个只有取反的那几列是1其他是0的集合,于是就可以取到最大值。
本质:对列取反的操作实际上是交换集合位置的操作
想明白了这个之后,就可以非常轻松的证明并理解这些结论了
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