P2179-[NOI2012]骑行川藏【导数,二分】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2179

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题目大意

给出\(E\)和\(n\)个\(s_i,k_i,u_i\)求一个序列\(v_i\)满足

\[\sum_{i=1}^nk_is_i(v_i-u_i)^2\leq E
\]

的情况下最小化

\[\sum_{i=1}^n\frac{s_i}{v_i}
\]

\(1\leq n\leq 10^4\)

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解题思路

洛谷题解上一个十分神奇的做法看起来。（主要是看不懂拉格朗日乘数法/kk）

首先考虑对于段路的行驶时间\(t_i=\frac{s_i}{v_i}\)，我们可以画出消耗的能量\(E\)和\(t_i\)的函数。

对于函数\(f(E)=t_i\)不难发现的是在\(v_i\geq u_i\)的情况下\(E\)越小这个函数对应位置的导数越小。

也就是消耗单位能量减少的时间也就越少，性价比就越低。而我们现在要给每段路分配一个\(t_i\)使得消耗能量和等于\(E\)且\(t_i\)和最小的话。

根据贪心的思想有选出若干个的\(t_i\)满足对应位置的导数相等。

那么我们就找到了所有路的共性，考虑二分这个导数，但是我们先对这个函数\(f(v)=\frac{t}{E}\)求个导。

\[t'=-\frac{s}{v_i^2},E'=2k_is_i(v_i-u_i)
\]

\[f'(v)=\frac{t'}{E'}=-\frac{s}{2k_is_iv_i^2(v_i-u_i)}
\]

然后我们二分出\(f'(v_i)=x\)然后再二分出对应的速度\(v_i\)就好了。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e4+10;
int n;double E,s[N],k[N],v[N];
double getv(double x,int p){
	double l=max(v[p],0.0),r=100000;
	for(int i=1;i<=100;i++){
		double V=(l+r)/2.0;
		if(-2.0*k[p]*V*V*x*(V-v[p])<1.0)l=V;
		else r=V;
	}
	return (l+r)/2.0;
}
double check(double x){
	double E=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		double V=getv(x,i);
		E+=k[i]*s[i]*(V-v[i])*(V-v[i]);
	}
	return E;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);scanf("%lf",&E);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v[i]);
	double l=-1e5,r=0;
	for(int i=1;i<=100;i++){
		double mid=(l+r)/2.0;
		if(check(mid)<=E)l=mid;
		else r=mid;
	}
	double mid=(l+r)/2.0,ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans+=s[i]/getv(mid,i);
	printf("%.12lf\n",ans);
	return 0;
}