【LeetCode】123、买卖股票的最佳时机 III

Best Time to Buy and Sell Stock III

题目等级：Hard

题目描述：

Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i.

Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most two transactions.

Note: You may not engage in multiple transactions at the same time (i.e., you must sell the stock before you buy again).

Example 1:

Input: [3,3,5,0,0,3,1,4]
Output: 6
Explanation: Buy on day 4 (price = 0) and sell on day 6 (price = 3), profit = 3-0 = 3.
             Then buy on day 7 (price = 1) and sell on day 8 (price = 4), profit = 4-1 = 3.

Example 2:

Input: [1,2,3,4,5]
Output: 4
Explanation: Buy on day 1 (price = 1) and sell on day 5 (price = 5), profit = 5-1 = 4.
             Note that you cannot buy on day 1, buy on day 2 and sell them later, as you are
             engaging multiple transactions at the same time. You must sell before buying again.

Example 3:

Input: [7,6,4,3,1]
Output: 0
Explanation: In this case, no transaction is done, i.e. max profit = 0.

  题意：给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。设计一个算法来计算所能获取的最大利润。最多允许完成两次交易，必须在再次购买前出售掉之前的股票。

---

解题思路（动态规划+二分法）：

  前面两道题分别是允许一次交易和允许无数次交易，这里的改变是允许两次交易，相对难度就比较大。

  首先回顾一下允许一次交易的情形，买卖股票的问题我们可以看到是一个明显的分阶段决策的问题，每一阶段的决策会影响到整体的决策，从而影响最优化结果。所以在一次交易问题中，我们使用动态规划，采用以下递推公式进行解决：dp[i]=max(price[i]-min,maxProfit)。

  这里是两次交易，解法是：将两次交易转化成两个一次交易，第i天之前一次，第i天之后一次。

  我们可以看到，两次交易一定是先完成了一次，接下来再完成第二次，所以可以使用二分的思想，以第i天为分界，第i天之前完成一次交易，第i天之后完成一次交易，分别得到每一次交易的最大值，最后遍历一次找到最合适的i，则对应的两次收益之和就是我们求的结果。

  我们用dp1[i]表示从第一天到第i天完成一次交易的最大收益，用dp2[i]表示从第i天到最后一天完成一次交易的最大收益。则只需要分别计算出这两个数组dp1和dp2即可。

  对于dp1，很简单，从前往后遍历，这就是我们在一次遍历时的递推公式：dp1[i]=max(dp[i-1],prices[i]-min)

  对于dp2，稍作变形，从后往前遍历，维护一个最大值，递推公式：dp2[i]=max(dp[i+1,max-prices[i]])

  最后，我们要求的结果就是：res=max(dp1[i]+dp2[i])，也就是找到最合适的i值。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        /*分成两次，第i天之前一次，第i天之后一次，转化成两个一次交易的问题
         从前往后：dp1[i]=max(dp[i-1],prices[i]-min)，从第一天到第i天完成一次交易的最大收益
         从后往前：dp2[i]=max(dp[i+1,max-prices[i]]),从第i天到最后一天完成一次交易的最大收益
        */
        if(prices==null || prices.length==0)
            return 0;
        int len=prices.length;
        int[] dp1=new int[len];
        int[] dp2=new int[len];
        //从前往后
        int min=prices[0];
        dp1[0]=0;
        for(int i=1;i<len;i++){
            dp1[i]=Math.max(dp1[i-1],prices[i]-min);
            min=Math.min(prices[i],min);
        }
        //从后往前
        int max=prices[len-1];
        dp2[len-1]=0;
        for(int i=len-2;i>=0;i--){
            dp2[i]=Math.max(max-prices[i],dp2[i+1]);
            max=Math.max(prices[i],max);
        }
        //合并得到结果
        int res=0;
        for(int i=0;i<len;i++){
            if(dp1[i]+dp2[i]>res)
                res=dp1[i]+dp2[i];
        }
        return res;
    }
}

  时间复杂度：O(3n)，空间复杂度：O(2n)

总结

  本题难度比较大，实际上这就是一次交易的变形考法，主要是要熟悉动态规划的解法，正确写出递推公式。