洛谷 P4397 [JLOI2014]聪明的燕姿 / TOPOI 测验1315, 问题E: 1935: 聪明的燕姿解题报告

题目链接：

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大致题意：输入一个数s，找出所有约数和为s的数

关于一个数的约数和求法：

一个>1的整数可以被分解为多个质数的乘方，设数 s = p₁^k₁ *p₂^k₂ * p₃^k₃ *......*p_n^k_n

根据组合的思想 s的约数和 = （p₁⁰ +p₁¹+p₁²+......+p₁^k₁）*（p₂⁰ +p₂¹+p₂²+......+p₂^k₂）*........*（p_n⁰ +p_n¹+p_n²+......+p_n^k_n）;

数据很大，有多组测试数据，首先想到预处理

预处理 2 * 10^9内的所有质数？（神仙也没法阻止你TLE）

事实上只要处理√2*10^9内的质数行了。Why？注：√2*10^9 ≈ 50000

设输入的数为s，有一个质数 k>√s，在分解s的过程中，k最多只能取1个

所以在找答案的过程中，只要判断当前分解的数 a = k + 1（k+k⁰=k+1）就可以加入答案

但在实际搜索的过程中，假设当前在枚举第 x 个质数，分解的数为 a，当a - 1 > t[x] 且 (a - 1)是质数时，就可以加入答案。

因为如果（a-1）是质数，之后枚举的所有质数 p，一定满足 p * p <= a （前面已经提到只枚举 < √a 的质数），所以 p ≠ a-1，不会造成答案重复

预处理质数：

范围虽然开了根号，但用普通筛选肯定不行，（估计TOPOI又要炸了）

这里要用到线性筛来预处理

线性筛主体思想：让每一个数只筛选出部分合数，其余的让别的数来筛，时间复杂度 O(n)

实现：

for (register int i = 2; i <= maxn; i++) {

        if (!ok[i])  t[++num] = i;

        for (register int j = 1; j <= num; j++) {

            if (t[j] * i > maxn) break;

            ok[t[j] * i] = 1;

            if (i % t[j] == 0) break;

        }

    }  //线性筛 预处理 maxn 内的质数

处理出质数后，就可以开始暴力枚举

搜索的时候从n除到1或从1乘到n都可以（因为运算符不同，从n除到1貌似更快一些）

这里附上 2 种做法的代码（差不多）

（代码跟洛谷里的题解差不多，毕竟我也是看了题解）

细节看一下代码中的注释吧（代码巨丑）

代码1：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define maxn 50000

int n, num, ans[maxn * 2], t[maxn + 10], tot;  //ans存答案，t存质数,tot记录答案数

bool ok[maxn + 10];        //ok表示是否是质数

bool check (int x) {

	if (x <= maxn) return !ok[x];   //优化 ：若这个数已经预处理过，就不用重复做了

	for (register int i = 1; t[i] * t[i] <= x; i++) if (x % t[i] == 0) return false;

	//这里判断质数只要用前面 质数 来判断就行了，节省时间

	return true;

}

void dfs (int x, int sum, int now) {

	if (sum == 1) {ans[++tot] = now;  return;}  //当分解到 1 时说明方案成立，加入答案

	if (sum > t[x] + 1  and check (sum - 1)) ans[++tot] = now * (sum - 1);  //特判是否满足上述情况

	for (register int k = x + 1; t[k] * t[k] <= sum; k++)    //外重枚举质数

		for (register int ss = 1 + t[k], sn = t[k]; ss <= sum; sn *= t[k], ss += sn) {//内重枚举个数

			if (sum % ss != 0) continue;   //剪枝 ：如果除不尽就别做了

			dfs (k, sum / ss, now * sn);

		}

}

int main() {

	for (register int i = 2; i <= maxn; i++) {

		if (!ok[i])  t[++num] = i;

		for (register int j = 1; j <= num; j++) {

			if (t[j] * i > maxn) break;

			ok[t[j] * i] = 1;

			if (i % t[j] == 0) break;

		}

	}  //线性筛 预处理 maxn 内的质数

	while (~scanf ("%d", &n)) {   //~scanf实现多组数据读入

		tot = 0;

		dfs (0, n, 1);

		sort (ans + 1, ans + tot + 1);

		printf ("%d\n", tot);

		for (register int i = 1; i <= tot; i++) printf ("%d ", ans[i]);

		if (tot) puts ("");

	}

	return 0;

}

代码2：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define maxn 50000

int n, num, ans[maxn * 2], t[maxn + 10], tot;  //ans存答案，t存质数,tot记录答案数

bool ok[maxn + 10]; //ok表示是否是质数

bool check (int x) {

	if (x <= maxn) return !ok[x];   //优化 ：若这个数已经预处理过，就不用重复做了

	for (register int i = 1; t[i] * t[i] <= x; i++) if (x % t[i] == 0) return false;

	//这里判断质数只要用前面 质数 来判断就行了，节省时间

	return true;

}

void dfs (int x, int sum, int now) {

	if (sum == n) {ans[++tot] = now;  return;}   //当乘积到 n 时说明方案成立，加入答案

	if (n / sum > t[x] + 1  and check (n / sum - 1)) ans[++tot] = now * (n / sum - 1);  //特判是否满足上述情况

	for (register int k = x + 1; t[k] * t[k] <= n / sum; k++)   //外重枚举质数

		for (register int ss = 1 + t[k], sn = t[k]; ss <= n / sum; sn *= t[k], ss += sn) { //内重枚举个数

			if ((n / sum) % ss != 0) continue; //剪枝 ：如果除不尽就别做了

			dfs (k, sum * ss, now * sn);

		}

}

int main() {

	for (register int i = 2; i <= maxn; i++) {

		if (!ok[i])  t[++num] = i;

		for (register int j = 1; j <= num; j++) {

			if (t[j] * i > maxn) break;

			ok[t[j] * i] = 1;

			if (i % t[j] == 0) break;

		}

	}  //线性筛 预处理 maxn 内的质数

	while (~scanf ("%d", &n)) {   //~scanf实现多组数据读入

		tot = 0;

		dfs (0, 1, 1);

		sort (ans + 1, ans + tot + 1);

		printf ("%d\n", tot);

		for (register int i = 1; i <= tot; i++) printf ("%d ", ans[i]);

		if (tot) puts ("");

	}

	return 0;

}

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