【BZOJ1485】有趣的数列

Description

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

(2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

(3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

【题解思路】

类比合法括号序列，可知要求卡特兰数。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define ll long long
 #define ull unsigned long long
 #define rep(k,i,j) for(int k = i;k <= j; ++k)
 #define FOR(k,i,j) for(int k = i;k >= j; --k)
 inline int read(){
     int x = ,f = ; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){x=(x<<)+(x<<)+ch-''; ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 const int mxn = 2e6+;
 int n,p;
 inline void file(){
     freopen("dotp.in","r",stdin);
     freopen("dotp.out","w",stdout);
 }
 /*
 thought1
 1.线性筛筛出所有1~n之间的质数并用桶计数
 2.对n+2~2*n进行质因数分解对应数量减少
 复杂度太高，比递推复杂度都要高
 thought2
 1.处理出从1~2*n的所有质数，对质因子从小到大标号
 2.处理出从1到当前数为止的质数的个数，
     tot[x]表示从1~x内质数的标号到了tot[x]个，从1~x有tot[x]个质数
 3.利用同样的质数，下标不变，进行桶的计数。
 */
 int cnt[mxn],tot[mxn];
 inline void in(){
     n = read(),p = read();
     memset(cnt,,sizeof(cnt));
 }
 int prime[mxn];
 bool v[mxn];
 int m = ;
 inline void getpri(){
     memset(v,,sizeof(v));
 //    int m(0);
     rep(i,,*n){
         if(v[i]==){//i是质数
             prime[++m] = i;//第m个质数是i
             tot[i] = m;//计算到i已经有m个质数用于标号
         }
         for(int j = ;j<=m && prime[j]*i<=*n; j++){
             v[prime[j]*i] = ;
             tot[prime[j]*i] = j;
             if(i%prime[j]==) break;
         }
     }
 }
 inline void prewor(int x,int num){
     while(x!=){
         cnt[tot[x]] += num;
         x /= prime[tot[x]];
     }
 }
 ll ans = ;
 inline void wor(){
     FOR(i,*n,n+) prewor(i,);
     rep(i,,n) prewor(i,-);
     rep(i,,m)
         while(cnt[i]--) ans = (ans*prime[i])%p;
 }
 inline void print(){
     printf("%lld\n",ans);
 }

 int main(){
 //    file();
     in();
     getpri();
     wor();
     print();
     return ;
 }