o(nlogn)求最长上升子序列

\(O(nlog_n)\)求最长上升子序列LIS

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。下面一步一步试着找出它。

我们定义一个序列B，然后从一开始逐个考察这个序列。

此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了\(O(NlogN)\)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 50005;
int len , n , a[N] , lis[N];
int binary(int x , int l , int r) {
    if(l == r) {
        if(lis[l] > x)
            return l;
        else
            return -1;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    if(x > lis[mid])
        return binary(x , mid + 1 , r);
    if(x <= a[mid]) {
        int ans = binary(x , l , mid);
        if(ans == -1)
            return mid;
        else
            return ans;
    }
}
int main() {
    scanf("%d" , &n);
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {
        scanf("%d" , &a[i]);
        lis[i] = INT_MAX;
    }
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
        if(lis[len] < a[i]) {
            lis[++len] = a[i];
            continue;
        }
        lis[binary(a[i] , 1 , len)] = a[i];
    }
    printf("%d" , len);
    return 0;
}