dp的本质

　　什么是真正的dp？有什么特点？怎么来搞。

最近遇到了一些以前的题目发现没有好好的理解就直接写了 大多都是书上的算法并不是自己真正的理解。

1 关于背包 我总结一下 可能 有助于对模型的更快发现

01 背包 一般来说直接使用一个维度直接继承上一层的状态 对于每一个状态我们可以保证其实最优的所以具有最优子结构所以 是正确的。

完全背包 一个物品无限使用所以我们只需要能使用就使用即可不需要管数量。

多重背包 我们把状态转移写出来 其实第一次我是这样做的 把多重背包换成01背包的模型然后复杂度 nmci 非常之高，但是换成一个更先进的状态转移。

发现每一段都是连续的转移 求某个区间的最大值 直接单调队列就优化了。二进制拆分好久没用了 其实就是分成logn个 然后01背包的选取即可，根据二进制的拆分所以正确性是显然的。

这里有一个比较 有创造性的题目。

一眼 多重背包单调队列优化 但是其实我们发现问题的本质是 求某个区间是否有一个1 这样也可以进行前缀和的优化。

但是皆因常数有点大T掉了。再次考虑优化 我们发现 只是求 一段区间中离我们当前值最近的一个1即可。

虽然可能较远的1也可以使用但是 从贪心角度来看 取最近的1给后面带来的决策更优 于是我们把倒着的过程优化到了正着的过程。

于是 根据贪心的最优性我们成把两倍常数卡到了一倍常数通过了此题。

分组背包？怎么做？一组中只能选取一个 更实际一点的是 对于一个j来说 我们只会选择一个物品 由于是01背包 那么倒着选 然后内层循环 循环物品即可。

多人背包？背包的第k优解 怎么办？设状态 f[i][j] 表示 对于容量为 i 的第j优解 考虑转移 这里考虑刷表法 然后 转移到 某某状态 发现了么 对于同一个i来说 j增大的时候 f数组单调不增 所以 可以直接归并的完成这个过程。

考虑一些难一些的dp 如 需要优化状态 优化空间 优化转移 ...其中我认为优化状态是最难的 我 基本上就是一个状态想半天 而题解中的状态却设计的 非常的精巧。

接下来讨论一道 对dp的深刻理解的题目。

LINK：the heart of the tree 一句话题意 Q次询问每次询问某个点为根的子树内的重心。

关于重心有一些比较好的性质 但是 我的点分树学艺不精 所以 知道的不多。

n 和 Q的数量级都到达了 3e5的数量级 暴力显然不行。我们至少要再logn的时间内求出答案 我曾想过线段树维护dfs序然后进行区间的操作。发现不太行

考虑 一遍dfs序求出所有点的重心 从子树往上走必然的结果是 此时的重心一定不会往里面跳一定会往上面跳所以 考虑所有的重心向上跳的数量级是O(n)的 直接向上跳即可。

题解中海油 更 有趣的思路是 抱歉没有了我觉得并不优秀。核心思想都差不多。

数位dp 这种dp省选之中经常出现 我没有过人的天赋 我也没有出众的才能只能利用自己的 头硬写..

首先是 状态要合适 然后是 状态数量要在可控范围内 转移的时候要注意一些细节 如最高位的限制 及 前导0是否存在。

此时转移 无非就是枚举决策 当前数位填什么qwq... 乌拉前导0 也是可以放到状态之中的和普通的状态不一样 值得注意的是

前导0的情况有9*(n-1)种 其中n是数位的个数 其实这个放不放到状态中都是无所谓的了 如果觉得不好写那就放到状态中 状态中如果没有亲自开设一个位置给前导0的一系列状态的话也不能强行放到f数组中。

具体的dp细节就是这样了。关键是  状态 状态的数量 及 转移的 细节。

值得一提的是 进行记忆化搜索的retunrn 时注意判断limt的限制是否存在(如果存在自然不能return 我忽略了这一点在不经意间qwq。

update : 数位dp 统计一个区间之内的 符合某种特点的 数字个数 具有多种特点的时候考虑拆分 一个一个求。

这里我觉得有两个类似于相似但不相同的 问题。

1：给出一个区间求这个区间中 1-9 分别出现了多少次。

2：给出一个区间求这个区间中每个数字的数位和？

转换模型 2问题是1问题的子集。$ans2=\sum_{i=1}^{9} ans[i]*i;$

其中 1问题我在求解的时候非常之迷.2问题反而好求一点但复杂度较高

以此我分类讨论 来阐明 数位dp的本质. 数位dp的本质和状态dp的本质一样 状态合并 大大降低复杂度。

考虑第二个问题 如何 解决 考虑 每个数字 的数位之和 是很小的数字 我们将这相同的状态进行合并 然后数位dp即可。

每次f数组表示在某某情况下的 目标和是i的方案数即可。

考虑第一个问题 把问题拉向另一个方向 发现一个数字出现的是1 ~ 9 才对答案有贡献 求某个区间中某个数字出现了多少次 这个显然 也是求某一类有特点的数字 并非多类 也没有限制当前数字要有多少个

所以 从这一方面考虑状态数量从原本的 位数*9 变到了 9 大大降低了复杂度.

两种方法都通过此题 且 第一种方法比第二种方法不知道快到哪里去了qwq