某dp题2

P2401 不等数列

题目描述

将1到n任意排列，然后在排列的每两个数之间根据他们的大小关系插入“>”和“<”。问在所有排列中，有多少个排列恰好有k个“<”。答案对2015取模。

注：1_{n的排列指的是1}n这n个数各出现且仅出现一次的数列。

输入输出格式

输入格式：

第一行2个整数n,k。

输出格式：

一个整数表示答案。

输入输出样例

输入样例#1：

5 2

输出样例#1：

66

说明

对于30%的数据：n <= 10

对于100%的数据：k < n <= 1000

这个是一个比较那啥的递推(dp)做法

具体就是考虑一个\(1-n\)自然数的排列

然后其中每两个相邻的数之间存在一定的大小关系

然后考虑下一个数:\(n+1\)

那么他比数列中所有的数都大

如果我们将这个\(n+1\)插入到数列中的某个位置

如果将其插入到产生<关系的两侧

那么产生的<关系的数量将不会改变

那么所有的<两端一共只有j+1个位置

同样

如果将n+1插入到一个>关系的两侧，会增加一个<关系

所有的>关系的两侧只有i-j个位置

那么根据这个关系来递推答案

设f[i][j]表示在\(1-i\)的所有排列中，有k个<关系的排列有多少个

那么递推式

\[f_{ij}=(j+1)\times f_{i-1 j}+(i-j)\times f_{i-1j-1}
\]

所以

\[f(i,j) =
\begin{cases}
1 & \mbox{i=0, j=0} \\
(j+1)\times f(i-1,j)+(i-j)\times f(i-1,j-1)& \mbox{j<i}
\end{cases}
\]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 15
using namespace std;

int f[N][N];

int n,k;

int main(){
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		f[i][0]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=min(i-1,k);++i)
			f[i][j]=((j+1)*f[i-1][j]+(i-j)*f[i-1][j-1])%2015;
	printf("%d",f[n][k]%2015);
	return 0;
}