洛谷P1020 导弹拦截【单调栈】

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1020

题意：

给定一些导弹的高度。

一个导弹系统只能拦截高度不增的一系列导弹，问如果只有一个系统最多能拦截多少导弹。

再问，如果要拦截所有导弹最少需要多少系统。

思路：

对于第一个问题其实就是找整个序列中的最长不升子序列。

对于第二个问题就是找整个序列中的最长上升子序列。因为当有一个高度大于前面的高度时一个系统就搞定不了了。

最长上升子序列用动态规划是可以做的，但是这题会卡。

$O(N^2)$的动规做法是，$dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1),if height[i] > height[j]$

还有一种$O(NlogN)$的做法。这时我们维护一个单调栈。数是从小到大排序的，对于新的一个数，如果比栈顶的元素大，就直接加入栈中。

如果新的数比栈顶要小，我们就在栈中二分查找一个最小的大于新的数的数替换掉。

因为对于已经选好了的序列，我们替换前面的数的话并不会影响答案的长度。但是用更小的数替换大的数将有更大的机会让加入的数变多。

而二分找这样的数也非常简单，使用STL里的upper_bound()和lower_bound()就可以解决了。

lower_bound( begin,end,num)：从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个大于或等于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。

upper_bound( begin,end,num)：从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个大于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。

lower_bound( begin,end,num,greater<type>() ):从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个小于或等于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。

upper_bound( begin,end,num,greater<type>() ):从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个小于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<map>
 #include<set>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<cmath>
 #include<stack>
 #include<queue>
 #include<iostream>

 #define inf 0x7fffffff
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 typedef pair<string, string> pr;

 const int maxn = 1e5 + ;
 int height[maxn];
 int n = ;
 int incre[maxn], decre[maxn];
 int len1 = , len2 = ;

 int main()
 {
     while(scanf("%d", &height[n++]) != EOF);
     for(int i = ; i < n; i++){
         if(height[i] > incre[len1]){
             incre[++len1] = height[i];
         }
         else{
             int j = lower_bound(incre, incre + len1 + , height[i]) - incre;
             incre[j] = height[i];
         }

         if(height[i] <= decre[len2]){
             decre[++len2] = height[i];
         }
         else{
             int j = upper_bound(decre, decre + len2 + , height[i], greater<int>() ) - decre;
             decre[j] = height[i];
         }
     }

     printf("%d\n%d\n", len2, len1);
     return ;
 }