矩阵&&高斯消元

矩阵运算：

$A\times B$叫做$A$左乘$B$，或者$B$右乘$A$。

行列式性质：

$1.$交换矩阵的两行（列），行列式取相反数。

$2.$某一行元素都$\times k$，行列式值也$\times k$。

$3.$某一行加到另一行上，行列式值不变。

$4.$矩阵某两行（列）元素分别成比例，行列式值为$0$。

$5.A+B=C\Rightarrow|A|+|B|=|C|$。

$6.$矩阵与转置矩阵行列式相等。

对于方阵而言：

$7.|A^\tau|=|A|$

$8.|AB|=|A||B|$

矩阵的转置：

$1.(A^\tau)^\tau=A$

$2.(A+B)^\tau=A^\tau+B^\tau$

$3.(\lambda A)^\tau=\lambda A^\tau$

$4.(AB)^\tau=B^\tau A^\tau$

余子式：

$n$阶矩阵的余子式$M_{ij}=$矩阵$A$去掉第$i$行第$j$列的$n-1$阶矩阵行列式。

代数余子式$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。

伴随矩阵：

矩阵$A^*$的各项元素$a_{ij}=$矩阵$A$的代数余子式$A_{ij}$，那么称$A^*$是$A$的伴随矩阵，记作$A^*$。

逆矩阵：

$1.$矩阵$A$可逆等价于 $|A|\ne 0$

$2.A^{-1}=\frac 1 {|A|}A^*$（求伴随矩阵的$Gauss$算法）

矩阵的秩：

$k$阶子式：选$k$行$k$列，把交点元素按顺序组成$k$阶矩阵。

非零子式：没有零行的子式。

行阶梯矩阵：每一行首非零元素都在上一行非零元素的右面，列阶梯矩阵同理。

最简形矩阵：行首非零元素为$0$的行阶梯矩阵。

矩阵的秩:$R(A)=A$的最高阶非零子式的阶数，也是通过矩阵的初等变换（$Gauss$）把$A$变成行阶梯矩阵（或最简形矩阵）后的非零行个数。

向量的旋转与矩阵：

把向量表示成列矩阵$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$，逆时针旋转向量$\theta$角就是矩阵$\left(\begin{matrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta\end{matrix}\right)$左乘向量列矩阵，另有$\left(\begin{matrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta\end{matrix}\right)^n$=$\left(\begin{matrix}cos~n\theta&-sin~n\theta\\sin~n\theta&cos~n\theta\end{matrix}\right)$。

模板：

实数高斯消元：

    int gauss_float(){

    	for(int i=1;i<=n;i++){

    		bj=0;

    		for(int j=i;j<=n;j++)

    			if(fabs(a[j][i])>eps){bj=j;break;}

    		if(bj==0)	return 0;

			for(int j=i;j<=n+1;j++)	swap(a[bj][j],a[i][j]);

    		for(int j=i+1;j<=n;j++){

    			double d=a[i][i]/a[j][i];

    			for(int k=i;k<=n+1;k++)

    				a[j][k]=a[j][k]*d-a[i][k];

			}

		}

		for(int i=n;i>=1;i--){

			ans[i]=a[i][n+1]/a[i][i];

			for(int j=1;j<i;j++)	a[j][n+1]-=a[j][i]*ans[i];

		}

        return 1;

    }

行列式： 如果没有mod，把%mod去掉即可。

    int determinant(){

    	dete=1;

		for(int i=1;i<=tot;i++){

    		for(int j=i+1;j<=tot;j++){

    			while(a[j][i]){

    				long long t=a[i][i]/a[j][i];

    				for(int k=i;k<=tot;k++){

    					a[i][k]=((a[i][k]-a[j][k]*t%mod)%mod+mod)%mod;

    					swap(a[i][k],a[j][k]);

					}

					dete=((-dete)%mod+mod)%mod;

				}

			}

			if(a[i][i]==0)	return 0;

			dete=((dete*a[i][i])%mod+mod)%mod;

		}

		return 1;

    }

矩阵求逆：

	int matrix_inv(){

		for(int i=1;i<=n;i++){

			bj=0;

			for(int j=i;j<=n;j++)

				if(a[j][i]!=0){bj=j;break;}

			if(bj==0)	return 0;

			for(int j=i;j<=n+n;j++)	swap(a[bj][j],a[i][j]);

			long long INV=qpow(a[i][i],mod-2);

			for(int j=i;j<=n+n;j++)	a[i][j]=a[i][j]*INV%mod;

			for(int k=1;k<=n;k++){

				if(k==i)	continue;

				for(int j=i+1;j<=n+n;j++)

					a[k][j]=((a[k][j]-a[k][i]*a[i][j]%mod)%mod+mod)%mod;

				a[k][i]=0;

			}

		}

		return 1;

	}

矩阵树定理：

无向图：（度数矩阵-邻接矩阵）去掉任意一行任意一列的行列式=该无向图的生成树个数。

有向图：（入度矩阵-邻接矩阵）去掉i行i列的行列式=以i为根（出发点）的外向树形图。

$~~~~~~~~~~~~~$（出度矩阵-邻接矩阵）去掉i行i列的行列式=以i为根（到达点）的内向树形图。