【题目】F. Group Projects

【题意】给定k和n个数字ai,要求分成若干集合使得每个集合内部极差的总和不超过k的方案数。n<=200,m<=1000,1<=ai<=500。

【算法】动态规划

【题解】每个集合的最小值和最大值非常重要,将序列从小到大排序后,每个集合可以视为最小值到最大值的一条线段。

设$f[i][j][k]$表示前i个数,当前有j条线段没有结束,总和为k的方案数。

转移的关键在于集合权值的拆分,转化为算每个数的贡献。数字a[i+1]的贡献就是覆盖的线段条数,即$t=(a[i+1]-a[i])*j$,分类讨论:

是一条线段的起点和终点

$$f[i+1][j][k+t]+=f[i][j][k]$$

即不是起点,又不是终点

$$f[i+1][j][k+t]+=f[i][j][k]*j$$

是起点,不是终点

$$f[i+1][j+1][k+t]+=f[i][j][k]$$

是终点,不是起点

$$f[i+1][j-1][k+t]+=f[i][j][k]*j$$

复杂度O(n^2*m)。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=,K=,MOD=1e9+;
int n,m,a[N],f[N][N][K];
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
sort(a+,a+n+);
f[][][]=f[][][]=;
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++){
int t=(a[i+]-a[i])*j;
for(int k=;k+t<=m;k++){
int x=f[i][j][k];
f[i+][j][k+t]=(f[i+][j][k+t]+1ll*x*(j+))%MOD;
f[i+][j+][k+t]=(f[i+][j+][k+t]+x)%MOD;
if(j)f[i+][j-][k+t]=(f[i+][j-][k+t]+1ll*x*j)%MOD;
}
}
int ans=;
for(int i=;i<=m;i++)ans=(ans+f[n][][i])%MOD;
printf("%d",ans);
return ;
}

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