SDUT3145：Integer division 1（换零钱背包）

题目：传送门

题目描述

整数划分是一个非常经典的数学问题。

所谓整数划分，是指把一个正整数n写成为n=m1+m2+...+mi的形式，其中mi为正整数，并且1<=mi<=n，此时，{m1, m2, ..., mi}为n的一个划分。如果{m1, m2, ..., mi}中的最大值不超过m，即max{m1, m2, ..., mi}<=m，那么我们称之为整数n的一个m划分。

现在给出你正整数n和m，请你输出n的m划分的数量。

例如，当n=4时，有5个划分，即{4}, {3,1}, {2,2}, {2,1,1}, {1,1,1,1}。

注意，4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。

输入

 输入文件以EOF结束。

每组数据占一行，有两个正整数n和m。(n,m<=50)

输出

 输出n的m划分的数量。

示例输入

4 4

示例输出

5

在比赛时通过做这题，明显发现了自己的不足，学过的知识理解的不透彻，明知道这题是神奇的换零钱的模板，但是没有推出来公式，还好我在模板里面找到了这题，1A。

代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#define inf 0x3f3f3f3f
#include <stdio.h>
#include <string.h>
typedef long long ll;
#define mod 10000007
#define eps 1e-9
using namespace std;
int n,m,dp[];
int main()
{
   while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
   {
       m=min(m,n);
       memset(dp,,sizeof(dp));
       dp[]=;
       for(int i=;i<=m;i++)
       {
           for(int j=i;j<=n;j++)
           {
               dp[j]+=dp[j-i];
           }
       }
       printf("%d\n",dp[n]);
   }
   return ;
}
 

递归暴力的方法：

如下：

根据n和m的关系，考虑一下几种情况：

（一）当n=1时，无论m的值为多少(m>0)，只有一种划分，即{1}。

（二）当m=1时，无论n的值为多少，只有一种划分，即n个1，{ 1,1,…,1}。

（三）当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为一下两种情况：

（1）划分中包含n的情况，只有一个，即{n}。

（2）划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

因此f(n,n)=1+f(n,n-1)。

（四）当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n)。

（五）当n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为以下两种情况：

（1）划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,…,xi}}，其中{x1,x2,…,xi}的和为n-m，因此这种情况下为f(n-m,m)。

（2）划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1)。

因此f(n,m)=f(n-m,m)+f(n,m-1)。